Exercice 25

1. Pour $x=0{,}25$ : $$\sqrt{0{,}25}=0{,}5 \quad ; \quad x=0{,}25 \quad ; \quad x^{2}=0{,}0625 \quad ; \quad x^{3}=0{,}015625$$

2. Pour $x=4$ : $$\sqrt{4}=2 \quad ; \quad x=4 \quad ; \quad x^{2}=16 \quad ; \quad x^{3}=64$$

3. Les deux exemples précédents illustrent le théorème du cours : $$\boxed{\begin{array}{ll} \text{si } 0<x<1 & : \; \sqrt{x}>x>x^{2}>x^{3} \\[1mm] \text{si } x>1 & : \; \sqrt{x}<x<x^{2}<x^{3} \\[1mm] \text{si } x=0 \text{ ou } x=1 & : \; \sqrt{x}=x=x^{2}=x^{3} \end{array}}$$ Autrement dit, élever à une puissance diminue un nombre compris entre $0$ et $1$, mais augmente un nombre supérieur à $1$. Le point de bascule est $1$.

4. (a) Comme $0<0{,}8<1$ : $\boxed{0{,}8^{3}<0{,}8^{2}<0{,}8<\sqrt{0{,}8}}$

(b) Comme $1{,}3>1$ : $\boxed{\sqrt{1{,}3}<1{,}3<1{,}3^{2}<1{,}3^{3}}$

5. Soit $x$ tel que $0<x<1$. On factorise la différence : $$x^{2}-x=x(x-1)$$ Le facteur $x$ est strictement positif, et le facteur $x-1$ est strictement négatif puisque $x<1$. Le produit d'un nombre positif par un nombre négatif étant négatif : $$x^{2}-x<0 \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad \boxed{x^{2}<x}$$