Exercice 1

1. Les deux points marqués sur $d_{1}$ ont pour coordonnées $A(-3\,;-2)$ et $B(1\,;0)$. Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées la différence des coordonnées : $$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1-(-3) \\ 0-(-2) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$$

2. Sur $d_{2}$, les points marqués sont $C(0\,;3)$ et $D(2\,;-1)$ : $$\boxed{\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix} \text{ est un vecteur directeur de } d_{2}}$$

3. La droite $d_{3}$ est verticale : tous ses points ont la même abscisse $3$. Deux de ses points sont par exemple $(3\,;0)$ et $(3\,;1)$ : $$\boxed{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \text{ est un vecteur directeur de } d_{3}}$$

4. Un vecteur est directeur de $d_{1}$ s'il est colinéaire à $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$, ce que l'on teste avec le déterminant.

• $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$ : $4\times 1-2\times 2=0$ $\Longrightarrow$ oui

• $\vec{v}\begin{pmatrix}-4\\-2\end{pmatrix}$ : $4\times(-2)-(-4)\times 2=0$ $\Longrightarrow$ oui

• $\vec{w}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ : $4\times 2-1\times 2=6\neq 0$ $\Longrightarrow$ non

• $\vec{t}\begin{pmatrix}6\\3\end{pmatrix}$ : $4\times 3-6\times 2=0$ $\Longrightarrow$ oui

5. Tout vecteur non nul colinéaire à $\overrightarrow{AB}$ convient, c'est-à-dire tout vecteur de la forme $k\,\overrightarrow{AB}$ avec $k\neq 0$. $$\boxed{\text{Une droite admet une infinité de vecteurs directeurs}}$$