Exercice 5

Méthode : on calcule d'abord $\overrightarrow{AB}$, qui est un vecteur directeur, puis on applique la méthode de l'exercice 4.

a) $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}$, d'où l'équation $4x-2y+c=0$. Avec $A(1\,;2)$ : $4-4+c=0$, donc $c=0$. $$\boxed{4x-2y=0, \text{ ou après simplification } 2x-y=0}$$ Vérification : pour $B(3\,;6)$, $2\times 3-6=0$.

b) $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}6\\-4\end{pmatrix}$, d'où $-4x-6y+c=0$. Avec $A(-2\,;1)$ : $8-6+c=0$, donc $c=-2$. $$-4x-6y-2=0 \qquad \text{soit, en divisant par } -2 : \qquad \boxed{2x+3y+1=0}$$ Vérification : $A$ donne $-4+3+1=0$ et $B$ donne $8-9+1=0$.

c) $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}$ : le vecteur est horizontal, la droite l'est aussi. Les deux points ont pour ordonnée $5$ : $$\boxed{y-5=0, \text{ c'est-à-dire } y=5}$$

d) $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}0\\5\end{pmatrix}$ : la droite est verticale, les deux points ont pour abscisse $2$ : $$\boxed{x-2=0, \text{ c'est-à-dire } x=2}$$

e) $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\-4\end{pmatrix}$, d'où $-4x-4y+c=0$. Avec $A(-3\,;2)$ : $12-8+c=0$, donc $c=-4$. $$-4x-4y-4=0 \qquad \text{soit, en divisant par } -4 : \qquad \boxed{x+y+1=0}$$ Vérification : $A$ donne $-3+2+1=0$ et $B$ donne $1-2+1=0$.