Exercice 4

Méthode : si $\vec{u}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur, alors en identifiant avec $\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$ on obtient $a=\beta$ et $b=-\alpha$. L'équation est donc de la forme $\beta x-\alpha y+c=0$, et l'on détermine $c$ en injectant les coordonnées du point.

1. $\vec{u}\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}$ donne $a=-1$ et $b=-3$, soit $-x-3y+c=0$. Avec $A(1\,;2)$ : $$-1-6+c=0 \iff c=7$$

2. $\vec{u}\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}$ donne $3x-4y+c=0$. Avec $A(-2\,;5)$ : $$-6-20+c=0 \iff c=26 \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{3x-4y+26=0}$$

3. $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ donne $2x-y+c=0$. Avec $A(0\,;-3)$ : $$0+3+c=0 \iff c=-3 \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{2x-y-3=0}$$

4. $\vec{u}\begin{pmatrix}0\\5\end{pmatrix}$ donne $5x+c=0$. Avec $A(4\,;1)$ : $$20+c=0 \iff c=-20 \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{5x-20=0, \text{ soit } x=4}$$

5. $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}$ donne $-2y+c=0$. Avec $A(-1\,;-1)$ : $$2+c=0 \iff c=-2 \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{-2y-2=0, \text{ soit } y=-1}$$