Exercice 6

1. On injecte les coordonnées de $A(2\,;m)$ dans l'équation : $$3\times 2-4m+2=0 \iff 8-4m=0 \iff \boxed{m=2}$$

2. On injecte $B(3\,;1)$ : $$3k+3-6=0 \iff 3k=3 \iff \boxed{k=1}$$

3. Deux vecteurs sont colinéaires si leur déterminant est nul : $$m\times(-2)-3\times 4=0 \iff -2m-12=0 \iff \boxed{m=-6}$$

4. La droite $2x+my-5=0$ admet $\begin{pmatrix}-m\\2\end{pmatrix}$ pour vecteur directeur. Il doit être colinéaire à $\vec{u}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$ : $$(-m)\times 1-3\times 2=0 \iff -m-6=0 \iff \boxed{m=-6}$$ Vérification : la droite $2x-6y-5=0$ admet $\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}$ pour vecteur directeur, qui est bien colinéaire à $\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$ puisque $\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$.