Exercice 18

1. Voici les trois droites, ainsi que $d_{4}$ ajoutée à la question 5.

2. $$\boxed{\text{Les trois droites semblent passer par un même point : elles semblent concourantes}}$$

3. On résout $d_{1}$ et $d_{2}$ en égalant les deux expressions de $y$ : $$x+1=-2x+7 \iff 3x=6 \iff x=2$$ puis $y=2+1=3$. $$\boxed{I(2\,;3)}$$

4. On calcule l'ordonnée du point de $d_{3}$ d'abscisse $2$ : $$3\times 2-3=3$$ C'est bien l'ordonnée de $I$. $$\boxed{I \text{ appartient aux trois droites : elles sont concourantes en } I}$$ La conjecture est maintenant démontrée : la lecture graphique seule ne suffisait pas, car deux droites très proches peuvent sembler se couper au même endroit.

5. Les droites $d_{1}$ et $d_{4}$ ont le même coefficient directeur $1$, mais des ordonnées à l'origine différentes ($1$ et $-2$). $$\boxed{d_{4} \text{ est strictement parallèle à } d_{1}}$$ Par le calcul : leurs équations cartésiennes sont $x-y+1=0$ et $x-y-2=0$, et le critère donne $1\times(-1)-1\times(-1)=0$, ce qui confirme le parallélisme.