ExerciceSeconde, chapitre 8 — Équations cartésiennes · Positions relatives et systèmes

Exercice 19

Calcul

Dans chaque cas, déterminer si les deux droites sont sécantes ou parallèles, en utilisant le critère $ab'-a'b$ .

1. $d : 2x+3y-1=0$ et $d' : 4x+6y+5=0$

2. $d : x-2y+3=0$ et $d' : 3x+y-2=0$

3. $d : -x+4y=0$ et $d' : 2x-8y+1=0$

4. $d : 5x+y-2=0$ et $d' : x-5y+3=0$

5. $d : 3x-6=0$ et $d' : 2y+1=0$

Corrigé

On applique la proposition 2 : les droites sont sécantes si et seulement si $ab'-a'b\neq 0$ .

\begin{array}{|c||c|c|c|} \hline & (a\,;b)\text{ \; et \; }(a'\,;b') & ab'-a'b & \text{Conclusion} \\ \hline \text{1.} & (2\,;3)\text{ et }(4\,;6) & 2\times 6-4\times 3=0 & \text{parallèles} \\ \hline \text{2.} & (1\,;-2)\text{ et }(3\,;1) & 1\times 1-3\times(-2)=7 & \text{sécantes} \\ \hline \text{3.} & (-1\,;4)\text{ et }(2\,;-8) & (-1)\times(-8)-2\times 4=0 & \text{parallèles} \\ \hline \text{4.} & (5\,;1)\text{ et }(1\,;-5) & 5\times(-5)-1\times 1=-26 & \text{sécantes} \\ \hline \text{5.} & (3\,;0)\text{ et }(0\,;2) & 3\times 2-0\times 0=6 & \text{sécantes} \\ \hline \end{array}

Le cas 5 mérite un commentaire : $d$ est verticale d'équation $x=2$ et $d'$ est horizontale d'équation $y=-\frac{1}{2}$ . Elles sont bien sécantes, au point $\left(2\,;-\frac{1}{2}\right)$ .

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