Exercice 28

1. Voici la figure, complétée de la médiane obtenue à la question 4.

2. Droite $(AB)$ : $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}$, d'où l'équation $2x-6y+c=0$. Avec $A(-1\,;1)$ : $-2-6+c=0$, donc $c=8$. $$2x-6y+8=0 \qquad \text{soit, en divisant par } 2 : \qquad \boxed{x-3y+4=0}$$

Droite $(AC)$ : $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}2\\-4\end{pmatrix}$, d'où $-4x-2y+c=0$. Avec $A$ : $4-2+c=0$, donc $c=-2$. $$-4x-2y-2=0 \qquad \text{soit} \qquad \boxed{2x+y+1=0}$$

Droite $(BC)$ : $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}-4\\-6\end{pmatrix}$, d'où $-6x+4y+c=0$. Avec $B(5\,;3)$ : $-30+12+c=0$, donc $c=18$. $$-6x+4y+18=0 \qquad \text{soit} \qquad \boxed{3x-2y-9=0}$$

3. On remplace les coordonnées de $D(7\,;1)$ dans l'équation de $(BC)$ : $$3\times 7-2\times 1-9=21-2-9=10\neq 0$$

4. Le milieu de $[BC]$ a pour coordonnées la moyenne de celles de $B$ et $C$ : $$M\left(\frac{5+1}{2}\,;\frac{3+(-3)}{2}\right)=\boxed{M(3\,;0)}$$ La médiane issue de $A$ est la droite $(AM)$, avec $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}$, d'où $-x-4y+c=0$. Avec $A(-1\,;1)$ : $1-4+c=0$, donc $c=3$. $$-x-4y+3=0 \qquad \text{soit} \qquad \boxed{x+4y-3=0}$$ Vérification avec $M(3\,;0)$ : $3+0-3=0$.

5. Sur la figure, la médiane rejoint bien $A$ au milieu du côté $[BC]$, et le point $M$ est visuellement à égale distance de $B$ et de $C$.