Exercice 12

1. Une fonction affine est du signe de son coefficient directeur après sa racine. Comme $f$ est positive après $3$ : $$\boxed{\text{Le coefficient directeur } m \text{ est strictement positif}}$$ Par exemple $f(x)=x-3$, ou encore $f(x)=2x-6$.

2. On cherche $g(x)=mx+p$. La condition $g(0)=4$ donne $p=4$, puis $g(-2)=0$ donne : $$-2m+4=0 \iff m=2 \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{g(x)=2x+4}$$

3. De même $h(x)=mx+p$ avec $h(0)=-10$, donc $p=-10$. La racine étant $5$ : $$5m-10=0 \iff m=2 \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{h(x)=2x-10}$$ On vérifie que $m=2>0$, ce qui est bien cohérent avec « négative avant, positive après ».

4. Oui, mais uniquement si le coefficient directeur est nul : $$\boxed{\text{Les fonctions constantes positives, par exemple } f(x)=3}$$ Si $m\neq 0$, la fonction admet une racine et change de signe en ce point : elle prend donc nécessairement des valeurs négatives.