Exercice 11

1. On lit l'abscisse du point où chaque droite coupe l'axe des abscisses : $$\boxed{\text{racine de } f : 2} \qquad ; \qquad \boxed{\text{racine de } g : -1}$$

2. La droite $\mathcal{C}_{f}$ monte, donc $f$ est négative avant sa racine et positive après. La droite $\mathcal{C}_{g}$ descend, donc $g$ est positive avant, négative après.

3. $$\boxed{f(x)\geqslant 0 \iff S=\left[2\,;+\infty\right[} \qquad ; \qquad \boxed{g(x)<0 \iff S=\left]-1\,;+\infty\right[}$$

4. Le point marqué a pour coordonnées $(0\,;-2)$ : $$\boxed{\text{C'est le point d'intersection des deux droites}}$$ Son abscisse est la valeur de $x$ pour laquelle $f(x)=g(x)$.

5. $\mathcal{C}_{f}$ est au-dessus de $\mathcal{C}_{g}$ à droite du point d'intersection : $$\boxed{f(x)\geqslant g(x) \iff S=\left[0\,;+\infty\right[}$$

6. La droite $\mathcal{C}_{f}$ passe par $(2\,;0)$ et $(0\,;-2)$ : son ordonnée à l'origine vaut $-2$ et son coefficient directeur $1$. La droite $\mathcal{C}_{g}$ passe par $(-1\,;0)$ et $(0\,;-2)$ : son ordonnée à l'origine vaut $-2$ et son coefficient directeur $-2$. $$\boxed{f(x)=x-2} \qquad ; \qquad \boxed{g(x)=-2x-2}$$ On résout alors : $$f(x)-g(x)=(x-2)-(-2x-2)=x-2+2x+2=3x$$

$$f(x)\geqslant g(x) \iff 3x\geqslant 0 \iff x\geqslant 0$$ Le calcul confirme la lecture graphique.