Exercice 16

Dans chaque cas on utilise l'identité $A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)$, puis un tableau de signes dont la structure est toujours la même : les deux facteurs sont de coefficients positifs, donc le produit est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles.

a) $x^{2}-9=(x-3)(x+3)$, de racines $3$ et $-3$.

b) $x^{2}-16=(x-4)(x+4)$, de racines $4$ et $-4$ : $\boxed{S=\left]-\infty\,;-4\right[\cup\left]4\,;+\infty\right[}$

c) $4x^{2}-25=(2x-5)(2x+5)$, de racines $\dfrac{5}{2}$ et $-\dfrac{5}{2}$ : $$\boxed{S=\left]-\infty\,;-\frac{5}{2}\right]\cup\left[\frac{5}{2}\,;+\infty\right[}$$

d) En écrivant $5=\left(\sqrt{5}\right)^{2}$, on obtient $x^{2}-5=\left(x-\sqrt{5}\right)\left(x+\sqrt{5}\right)$ : $$\boxed{S=\left]-\sqrt{5}\,;\sqrt{5}\right[}$$

e) $(x+1)^{2}-4=(x+1-2)(x+1+2)=(x-1)(x+3)$, de racines $1$ et $-3$ : $\boxed{S=\left[-3\,;1\right]}$

f) $9-x^{2}=(3-x)(3+x)$, de racines $3$ et $-3$. Attention, le facteur $3-x$ a un coefficient négatif.

$$\boxed{S=\left[-3\,;3\right]}$$ On retrouve le même ensemble qu'en a), ce qui est logique : $9-x^{2}\geqslant 0$ équivaut à $x^{2}-9\leqslant 0$.