Exercice 17

1. On ramène tout à gauche puis on factorise : $$x^{2}\geqslant 4x \iff x^{2}-4x\geqslant 0 \iff x(x-4)\geqslant 0$$

$$\boxed{S=\left]-\infty\,;0\right]\cup\left[4\,;+\infty\right[}$$ Il ne fallait surtout pas diviser par $x$ : ce nombre peut être nul, et surtout son signe est inconnu, ce qui rendrait le sens de l'inégalité imprévisible.

2. $$(x+2)^{2}<9 \iff (x+2)^{2}-9<0 \iff (x+2-3)(x+2+3)<0 \iff (x-1)(x+5)<0$$

3. On ramène à $0$ et l'on factorise par $x+1$ : $$x(x+1)>2(x+1) \iff x(x+1)-2(x+1)>0 \iff (x+1)(x-2)>0$$

$$\boxed{S=\left]-\infty\,;-1\right[\cup\left]2\,;+\infty\right[}$$ Ici encore, diviser les deux membres par $x+1$ aurait été une faute : cette expression change de signe en $-1$.

4. On factorise par $2x-3$ : $$(2x-3)\big[(x+1)-(3-x)\big]\geqslant 0 \iff (2x-3)(2x-2)\geqslant 0$$ Racines $\dfrac{3}{2}$ et $1$.