ExerciceSeconde, chapitre 9 — Inéquations · Position relative de deux courbes

Exercice 26

Calcul

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^{2}$ et $g(x)=4x-3$ .

1. Vérifier que $f(x)-g(x)=(x-1)(x-3)$ , en développant le membre de droite.

2. Étudier le signe de $f(x)-g(x)$ à l'aide d'un tableau de signes.

3. En déduire la position relative de la parabole et de la droite.

4. Donner les coordonnées des points d'intersection des deux courbes.

Corrigé

1. On développe le membre de droite : $(x-1)(x-3)=x^{2}-3x-x+3=x^{2}-4x+3$ Or $f(x)-g(x)=x^{2}-(4x-3)=x^{2}-4x+3$ : $\boxed{f(x)-g(x)=(x-1)(x-3)}$

2. Les deux facteurs sont de coefficient positif, de racines $1$ et $3$ .

3. $\boxed{\begin{array}{l} \text{La parabole est au-dessus de la droite sur } \left]-\infty\,;1\right[ \text{ et sur } \left]3\,;+\infty\right[ \\[1mm] \text{Elle est en dessous sur } \left]1\,;3\right[ \end{array}}$

4. Les deux courbes se coupent aux abscisses où la différence s'annule, soit $1$ et $3$ . On calcule les ordonnées avec $f(x)=x^{2}$ : $\boxed{\text{Les points d'intersection sont } (1\,;1) \text{ et } (3\,;9)}$

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Dans l'édifice

ℝ, corps ordonné complet

Thèmes

signe des fonctions affines, inéquation produit, position relative de courbes