Exercice 27

1. Pour $x>0$, on réduit au même dénominateur : $$f(x)-g(x)=\frac{1}{x}-x=\frac{1}{x}-\frac{x^{2}}{x}=\frac{1-x^{2}}{x}$$ Or $1-x^{2}=(1-x)(1+x)$ par identité remarquable : $\boxed{f(x)-g(x)=\dfrac{(1-x)(1+x)}{x}}$

2. Sur $]0\,;+\infty[$, on a $x>0$ par hypothèse, et donc $1+x>1>0$ : $$\boxed{\text{Les facteurs } x \text{ et } 1+x \text{ sont strictement positifs}}$$

3. Le quotient d'un produit de deux nombres positifs est positif : le signe de $f(x)-g(x)$ ne dépend donc que du facteur $1-x$, qui s'annule en $1$ et dont le coefficient est négatif.

$$\boxed{\begin{array}{l} \text{L'hyperbole est au-dessus de la droite sur } \left]0\,;1\right[ \\[1mm] \text{Elle est en dessous sur } \left]1\,;+\infty\right[ \end{array}}$$ Les deux courbes se coupent au point $(1\,;1)$.

4. Sur $]-\infty\,;0[$, le facteur $x$ est négatif, et $1+x$ change de signe en $-1$. Le facteur $1-x$, lui, reste positif puisque $x<0$.