ExerciceSeconde, chapitre 9 — Inéquations · Exercices de synthèse

Exercice 31

DémonstrationCalcul

1. Un triangle a pour base $x$ et pour hauteur $6$ . Un rectangle a pour dimensions $2$ et $x+4$ . Ces longueurs sont exprimées en centimètres, avec $x>0$ .

(a) Exprimer l'aire de chaque figure en fonction de $x$ .

(b) Pour quelles valeurs de $x$ l'aire du triangle est-elle strictement supérieure à celle du rectangle ?

2. Un carré a pour côté $x$ , et un rectangle a pour dimensions $x-2$ et $x+3$ , avec $x>2$ .

(a) Exprimer l'aire de chacune des deux figures, puis développer celle du rectangle.

(b) Démontrer que la différence des deux aires vaut $-x+6$ .

(c) En déduire pour quelles valeurs de $x$ le carré a la plus grande aire. On n'oubliera pas la contrainte $x>2$ .

Corrigé

1. (a) $\boxed{\mathcal{A}_{\text{triangle}}=\frac{x\times 6}{2}=3x} \qquad ; \qquad \boxed{\mathcal{A}_{\text{rectangle}}=2(x+4)=2x+8}$

(b) $3x>2x+8 \iff x>8$

\boxed{\text{L'aire du triangle dépasse celle du rectangle dès que } x>8}

2. (a) $\boxed{\mathcal{A}_{\text{carré}}=x^{2}}$

\mathcal{A}_{\text{rectangle}}=(x-2)(x+3)=x^{2}+3x-2x-6=\boxed{x^{2}+x-6}

(b) $x^{2}-\left(x^{2}+x-6\right)=x^{2}-x^{2}-x+6=\boxed{-x+6}$ Les termes en $x^{2}$ se sont éliminés : la différence est une simple fonction affine.

(c) Le carré a la plus grande aire lorsque la différence est strictement positive : $-x+6>0 \iff x<6$ Il faut de plus respecter la contrainte $x>2$ , sans laquelle le rectangle n'existe pas — sa largeur $x-2$ doit être strictement positive. $\boxed{S=\left]2\,;6\right[}$

Énoncé PDF, p. 8 Corrigé PDF, p. 28 Toute la feuille Le cours

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