Exercice 32

1. Racines $\dfrac{1}{2}$ et $-3$.

2. Racines $\dfrac{1}{2}$ et $4$. Le facteur $4-x$ a un coefficient négatif.

3. On factorise par $2x-1$ : $$\begin{aligned} f(x)-g(x) &= (2x-1)(x+3)-(2x-1)(4-x) \\ &= (2x-1)\big[(x+3)-(4-x)\big] \\ &= (2x-1)(2x-1)=\boxed{(2x-1)^{2}} \end{aligned}$$

4. Un carré est toujours positif ou nul, donc $f(x)-g(x)\geqslant 0$ pour tout réel $x$. $$\boxed{\mathcal{C}_{f} \text{ est au-dessus de } \mathcal{C}_{g} \text{ sur } \mathbb{R} \text{ tout entier}}$$ La différence s'annule uniquement lorsque $2x-1=0$, soit $x=\dfrac{1}{2}$. On calcule alors $f\!\left(\dfrac{1}{2}\right)=0$ : $$\boxed{\text{Les deux courbes ont un unique point commun : l'origine } \left(\frac{1}{2}\,;0\right)}$$

5. En factorisant par $2x-1$ dans les deux expressions : $$f(x)\times g(x)=(2x-1)(x+3)\times(2x-1)(4-x)=(2x-1)^{2}(x+3)(4-x)$$ Le facteur $(2x-1)^{2}$ est positif ou nul : il ne change donc jamais le signe du produit, mais il l'annule en $x=\dfrac{1}{2}$. On étudie alors le signe de $(x+3)(4-x)$.

Le produit est négatif sur $\left]-\infty\,;-3\right]$ et sur $\left[4\,;+\infty\right[$, mais il s'annule aussi en $x=\dfrac{1}{2}$, où le carré devient nul. $$\boxed{S=\left]-\infty\,;-3\right]\cup\left\{\frac{1}{2}\right\} \cup\left[4\,;+\infty\right[}$$

$$\boxed{\text{L'ensemble des solutions comporte un \emph{point isolé}}}$$ C'est la subtilité de cet exercice : un facteur au carré n'influence pas le signe du produit, mais il fournit une solution supplémentaire lorsque l'inégalité est large.