Exercice 33

1. Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est : $$\boxed{\text{Les racines de } f_{m} \text{ sont } m \text{ et } -2}$$

2. Cas $m=3$. Les racines sont $3$ et $-2$, avec $-2<3$.

Cas $m=-5$. Les racines sont $-5$ et $-2$, avec cette fois $-5<-2$.

3. Lorsque $m=-2$, les deux racines se confondent et l'expression devient un carré : $$f_{-2}(x)=(x+2)(x+2)=(x+2)^{2}$$ Un carré étant toujours positif ou nul, l'inéquation $(x+2)^{2}\leqslant 0$ n'est vérifiée que lorsque le carré est nul : $$\boxed{S=\{-2\}}$$

4. On distingue trois situations selon la position de $m$ par rapport à $-2$. Dans tous les cas, les deux facteurs ont un coefficient directeur positif, donc le produit est négatif entre les racines. $$\boxed{\begin{array}{ll} \text{si } m>-2 & : \; S=\left[-2\,;m\right] \\[1mm] \text{si } m=-2 & : \; S=\{-2\} \\[1mm] \text{si } m<-2 & : \; S=\left[m\,;-2\right] \end{array}}$$ On peut résumer les trois cas d'une seule phrase : $S$ est l'intervalle fermé dont les bornes sont $m$ et $-2$, rangées dans l'ordre croissant.

5. L'ensemble des solutions se réduit à un unique élément lorsque les deux bornes se confondent : $$\boxed{m=-2}$$