Exercice 4

1. Après chaque tirage, la boule est remise dans l'urne : sa composition est donc identique avant chaque tirage. Le résultat d'un tirage n'influence pas les suivants : $$\boxed{\text{les trois tirages sont indépendants}}$$ La probabilité de tirer une boule blanche vaut $\dfrac{3}{5}$ à chaque tirage, et celle de tirer une boule noire $\dfrac{2}{5}$.

2. On obtient l'arbre pondéré suivant, où $B$ désigne « boule blanche » et $N$ « boule noire » :

3. Les tirages étant indépendants, la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités portées par ses branches : $$P(BBB)=\frac{3}{5}\times\frac{3}{5}\times\frac{3}{5}=\frac{27}{125} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{P(BBB)=\frac{27}{125}=0{,}216}$$

4. L'événement « au moins une boule noire » est le contraire de « aucune boule noire », c'est-à-dire de l'événement précédent : $$1-\frac{27}{125}=\frac{98}{125} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{P=\frac{98}{125}=0{,}784}$$

5. Trois chemins réalisent exactement une boule noire ($NBB$, $BNB$ et $BBN$), et chacun a pour probabilité $\dfrac{2}{5}\times\left(\dfrac{3}{5}\right)^2=\dfrac{18}{125}$ : $$\boxed{P=3\times\frac{18}{125}=\frac{54}{125}=0{,}432}$$