ExerciceTerminale, chapitre 2 — Probabilités · Variables aléatoires

Exercice 6

Calcul

La loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$ est donnée par le tableau suivant :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x_i & -3 & 0 & 2 & 5 \\ \hline P(X=x_i) & 0{,}2 & 0{,}3 & a & 0{,}1 \\ \hline \end{array}

1. Déterminer la valeur du réel $a$ .

2. Calculer $P(X\geqslant 0)$ , puis $P(X<2)$ .

3. Calculer l'espérance $E(X)$ .

4. Calculer $E\left(X^2\right)$ , puis en déduire la variance $V(X)$ et l'écart-type $\sigma(X)$ , arrondi au centième.

Corrigé

1. La somme des probabilités d'une loi vaut toujours $1$ : $0{,}2+0{,}3+a+0{,}1=1 \iff a=1-0{,}6 \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{a=0{,}4}$

2. On additionne les probabilités des valeurs concernées : $P(X\geqslant 0)=0{,}3+0{,}4+0{,}1=\boxed{0{,}8} \qquad ; \qquad P(X<2)=0{,}2+0{,}3=\boxed{0{,}5}$

3. On applique la définition de l'espérance : $\begin{aligned} E(X) &= 0{,}2\times(-3)+0{,}3\times 0+0{,}4\times 2+0{,}1\times 5\\ &= -0{,}6+0+0{,}8+0{,}5 \end{aligned}$

\boxed{E(X)=0{,}7}

4. On calcule d'abord $E\left(X^2\right)$ : $E\left(X^2\right)=0{,}2\times 9+0{,}3\times 0+0{,}4\times 4+0{,}1\times 25=1{,}8+1{,}6+2{,}5 =\boxed{5{,}9}$ La formule de König-Huygens donne alors : $V(X)=E\left(X^2\right)-\big(E(X)\big)^2=5{,}9-0{,}7^2=5{,}9-0{,}49$

\boxed{V(X)=5{,}41 \qquad\text{et}\qquad \sigma(X)=\sqrt{5{,}41}\approx 2{,}33}

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Dans l'édifice

Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités

Thèmes

variable aléatoire, loi de probabilité, espérance, variance, écart-type

Notions

variable aléatoire, loi (d'une variable aléatoire), espérance