Exercice 7

1. Le joueur mise $6$ euros dans tous les cas. Il remporte donc $20-6=14$ euros avec le secteur gagnant, $5-6=-1$ euro avec un secteur à $5$ euros, et $-6$ euros sinon : $$\boxed{X(\Omega)=\{-6\,;-1\,;14\}}$$ Les huit secteurs étant identiques, on est en situation d'équiprobabilité :

2. On calcule l'espérance : $$E(X)=\frac{1}{2}\times(-6)+\frac{3}{8}\times(-1)+\frac{1}{8}\times 14 =\frac{-24-3+14}{8}$$

$$\boxed{E(X)=-\frac{13}{8}=-1{,}625}$$ Sur un très grand nombre de parties, le joueur perd en moyenne $1{,}625$ euro par partie.

3. Un jeu est équitable lorsque $E(X)=0$, ce qui n'est pas le cas ici : le jeu est défavorable au joueur. Le gain moyen avant déduction de la mise vaut : $$\frac{1}{8}\times 20+\frac{3}{8}\times 5+\frac{4}{8}\times 0=\frac{35}{8}=4{,}375$$

4. On applique de nouveau König-Huygens : $$E\left(X^2\right)=\frac{1}{2}\times 36+\frac{3}{8}\times 1+\frac{1}{8}\times 196 =\frac{144+3+196}{8}=\frac{343}{8}=42{,}875$$

$$\boxed{\sigma(X)=\sqrt{40{,}234\ldots}\approx 6{,}34\text{ euros}}$$ Le jeu est donc à la fois défavorable et très dispersé.