Exercice 8

1. Les trois probabilités sont positives et leur somme vaut : $$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{3+2+1}{6}=1$$ Il s'agit bien d'une loi de probabilité. Son espérance vaut : $$E(Y)=\frac{1}{2}\times 1+\frac{1}{3}\times 2+\frac{1}{6}\times 4 =\frac{3}{6}+\frac{4}{6}+\frac{4}{6} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{E(Y)=\frac{11}{6}}$$

2. On applique la définition, en calculant chaque écart à l'espérance : $$\begin{aligned} V(Y) &= \frac{1}{2}\left(1-\frac{11}{6}\right)^2+\frac{1}{3}\left(2-\frac{11}{6}\right)^2 +\frac{1}{6}\left(4-\frac{11}{6}\right)^2\\ &= \frac{1}{2}\times\frac{25}{36}+\frac{1}{3}\times\frac{1}{36}+\frac{1}{6}\times\frac{169}{36}\\ &= \frac{75}{216}+\frac{2}{216}+\frac{169}{216}=\frac{246}{216} \end{aligned}$$

3. Avec la formule de König-Huygens, on calcule d'abord $E\left(Y^2\right)$ : $$E\left(Y^2\right)=\frac{1}{2}\times 1+\frac{1}{3}\times 4+\frac{1}{6}\times 16 =\frac{1}{2}+\frac{4}{3}+\frac{8}{3}=\frac{1}{2}+4=\frac{9}{2}$$

4. Les deux méthodes donnent bien le même résultat, mais la seconde évite de soustraire l'espérance à chacune des valeurs, et donc de manipuler trois fractions au carré : c'est celle que l'on utilisera systématiquement en pratique.