Exercice 9

1. L'écart-type est la racine carrée de la variance : $$\sigma(X)=\sqrt{4}=\boxed{2}$$

2. On applique les formules de linéarité avec $a=5$ et $b=-2$ : $$E(Y)=5\times 3-2=\boxed{13} \qquad V(Y)=5^2\times 4=\boxed{100} \qquad \sigma(Y)=|5|\times 2=\boxed{10}$$

3. Ici $a=-2$ et $b=7$. On prend garde à la valeur absolue pour l'écart-type : $$E(Z)=-2\times 3+7=\boxed{1} \qquad V(Z)=(-2)^2\times 4=\boxed{16} \qquad \sigma(Z)=|-2|\times 2=\boxed{4}$$

4. On écrit d'abord $T$ sous la forme $aX+b$ : $$T=\frac{X-3}{2}=\frac{1}{2}X-\frac{3}{2}$$ d'où, avec $a=\dfrac{1}{2}$ et $b=-\dfrac{3}{2}$ : $$E(T)=\frac{1}{2}\times 3-\frac{3}{2}=\boxed{0} \qquad\text{et}\qquad V(T)=\left(\frac{1}{2}\right)^2\times 4=\boxed{1}$$ La variable $T$ est ainsi centrée et réduite : c'est un procédé que l'on retrouvera en statistiques.