Exercice 10

1. On tire deux boules : le nombre de boules blanches obtenues peut valoir $0$, $1$ ou $2$. $$\boxed{X(\Omega)=\{0\,;1\,;2\}}$$

2. Les tirages étant effectués avec remise, ils sont indépendants et la probabilité d'obtenir une boule blanche vaut $\dfrac{3}{5}$ à chaque fois.

Deux chemins réalisent $X=1$, d'où la loi :

La somme vaut bien $\dfrac{4+12+9}{25}=1$.

3. On applique les définitions : $$E(X)=\frac{4}{25}\times 0+\frac{12}{25}\times 1+\frac{9}{25}\times 2=\frac{30}{25} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{E(X)=\frac{6}{5}=1{,}2}$$

$$\boxed{V(X)=\frac{12}{25}=0{,}48}$$ On remarquera que $X$ suit en réalité la loi binomiale $\mathcal{B}\left(2\,;\frac{3}{5}\right)$, et que l'on retrouve bien les valeurs $E(X)=np=1{,}2$ et $V(X)=np(1-p)=0{,}48$.

4. Sans remise, la composition de l'urne change entre les deux tirages : la probabilité du second tirage dépend du premier. $$\boxed{\text{les deux tirages ne sont plus indépendants}}$$ Les probabilités du second niveau de l'arbre deviennent $\dfrac{2}{4}$ et $\dfrac{2}{4}$ après une boule blanche, $\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{1}{4}$ après une boule noire, ce qui donne : $$P(X=2)=\frac{3}{5}\times\frac{2}{4}=\frac{6}{20} \qquad P(X=1)=\frac{3}{5}\times\frac{2}{4}+\frac{2}{5}\times\frac{3}{4}=\frac{12}{20} \qquad P(X=0)=\frac{2}{5}\times\frac{1}{4}=\frac{2}{20}$$