ExerciceTerminale, chapitre 2 — Probabilités · Variables aléatoires

Exercice 11

Calcul

Une compagnie d'assurance propose un contrat couvrant un sinistre dont la probabilité de survenue est estimée à $0{,}02$ sur une année. En cas de sinistre, la compagnie verse une indemnité de $3\,000$ euros. Le client paie une prime annuelle de $p$ euros.

On note $X$ le gain algébrique de la compagnie pour un contrat, sur une année.

1. Déterminer la loi de probabilité de $X$ en fonction de $p$ .

2. Exprimer $E(X)$ en fonction de $p$ .

3. Quelle prime la compagnie doit-elle fixer pour que le contrat soit équitable ?

4. Quelle prime doit-elle fixer pour espérer un bénéfice moyen de $40$ euros par contrat ?

5. La compagnie a signé $10\,000$ contrats identiques. Quel bénéfice total peut-elle espérer avec la prime de la question précédente ?

Corrigé

1. La compagnie encaisse la prime $p$ dans tous les cas, et verse $3\,000$ euros en cas de sinistre :

\begin{array}{|c|c|c|} \hline x_i & p & p-3\,000 \\ \hline P(X=x_i) & 0{,}98 & 0{,}02 \\ \hline \end{array}

2. On calcule l'espérance : $\begin{aligned} E(X) &= 0{,}98\times p+0{,}02\times(p-3\,000)\\ &= 0{,}98p+0{,}02p-60 \end{aligned}$

\boxed{E(X)=p-60}

3. Le contrat est équitable lorsque $E(X)=0$ , c'est-à-dire lorsque $p-60=0$ : $\boxed{p=60\text{ euros}}$

4. On résout $E(X)=40$ , soit $p-60=40$ : $\boxed{p=100\text{ euros}}$

5. L'espérance donne le bénéfice moyen par contrat. Sur $10\,000$ contrats identiques : $10\,000\times 40=\boxed{400\,000\text{ euros}}$

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Dans l'édifice

Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités

Thèmes

loi de probabilité, espérance, jeu équitable

Notions

loi (d'une variable aléatoire), espérance