AnnalesBaccalauréat

Bac Amérique du Nord Terminale 2022 — Jour 1, 18 mai 2022

Probabilités conditionnelles, loi binomiale et espérance, suite arithmético-géométrique, géométrie dans l'espace, vrai-faux sur la fonction exponentielle · 3 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice traite le trajet de Paul vers la gare par un arbre pondéré et une probabilité conditionnelle inversée, puis compte les jours à vélo par une loi binomiale et calcule l'espérance d'un temps de trajet donné par un tableau. Le deuxième étudie la suite $T_{n+1} = 0{,}955T_n + 0{,}9$ , qui modélise le refroidissement d'un gâteau, par récurrence et suite géométrique auxiliaire, et interprète une fonction Python de seuil. Le troisième montre qu'un triangle $JKL$ est rectangle, calcule un angle, une équation du plan $(JKL)$ , le projeté orthogonal d'un point $T$ et le volume du tétraèdre $JKLT$ . Le quatrième est un vrai-faux de six affirmations sur la fonction exponentielle : une égalité, une équation, une tangence, un point d'inflexion, une limite et une inégalité.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Arbre pondéré, probabilité conditionnelle, loi binomiale et espérance p. 1

Conditionnement et indépendance · Lois de Bernoulli et binomiale · Espérance, variance, moments · Probabilités totales et formule de Bayes — arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle inversée, loi binomiale $\mathcal{B}\left(20\,;\,\frac{2}{3}\right)$ , $P(X \geqslant 10)$ , espérance d'une variable aléatoire

Exercice 2 — Suite arithmético-géométrique, récurrence, refroidissement et algorithme de seuil p. 2

Suites arithmétiques et géométriques · Informatique et algorithmique · Fonctions exponentielle et logarithme — $T_{n+1} = 0{,}955T_n + 0{,}9$ , raisonnement par récurrence, suite décroissante minorée, $T_n = 20 + 160 \times 0{,}955^n$ , inéquation $T_n \leqslant 120$ , loi de refroidissement de Newton, fonction Python de seuil

Exercice 3 — Triangle rectangle, angle, plan $(JKL)$ , projeté orthogonal et volume d'un tétraèdre p. 2–3

Géométrie vectorielle dans l'espace — triangle rectangle, produit scalaire, angle géométrique, vecteur normal, équation cartésienne d'un plan, projeté orthogonal, volume du tétraèdre $JKLT$

Exercice 4 — Vrai-faux sur la fonction exponentielle : équation, tangence, point d'inflexion, limite et inégalité p. 3

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Fonctions convexes · Limites de fonctions et asymptotes · Second degré — vrai-faux, $g(x) = \dfrac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x + 1}$ , $f(x) = x^2\mathrm{e}^{-x}$ , tangente à l'axe des abscisses, point d'inflexion, $1 + \mathrm{e}^{2x} \geqslant 2\mathrm{e}^x$

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités Suites réelles et limites Théorème de définition par récurrence Exponentielle et logarithme Espaces vectoriels et sous-espaces Dérivabilité Limite d'une fonction en un point Anneaux de polynômes