AnnalesBaccalauréat

Bac Métropole Terminale 2021 — Jour 1, 7 juin 2021

QCM sur la fonction $\frac{\mathrm{e}^{2x}}{x}$ , test de dépistage et loi binomiale, suite arithmético-géométrique et décongélation, distance d'un point à une droite de l'espace ou équation différentielle et convexité · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice est un QCM sur la fonction $f(x) = \frac{\mathrm{e}^{2x}}{x}$ : dérivée, extremum, limite et convexité. Le deuxième calcule la valeur prédictive positive d'un test par un arbre pondéré, puis utilise la loi binomiale. Le troisième compare un modèle affine et un modèle par la suite $T_{n+1} = 0{,}94T_n + 1{,}5$ pour la décongélation de gâteaux : majoration par récurrence, monotonie, suite géométrique auxiliaire, limite et seuil en Python. Au choix, l'exercice A détermine le point $M_0$ d'une droite le plus proche d'un point $A$ et calcule le volume d'une pyramide, et l'exercice B résout $y' = y + 2x\mathrm{e}^x$ à l'aide de la solution particulière $u(x) = x^2\mathrm{e}^x$ , puis étudie les variations et la concavité de $u$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — QCM sur $\frac{\mathrm{e}^{2x}}{x}$ : dérivée, extremum, limite et convexité p. 1

Dérivabilité · Fonctions convexes · Fonctions exponentielle et logarithme · Limites de fonctions et asymptotes — QCM, $f(x) = \frac{\mathrm{e}^{2x}}{x}$ , $f''(x) = \frac{2\mathrm{e}^{2x}\left(2x^2 - 2x + 1\right)}{x^3}$ , extremum, convexité, concavité

Exercice 2 — Test de dépistage : valeur prédictive positive et loi binomiale p. 1–2

Conditionnement et indépendance · Lois de Bernoulli et binomiale · Probabilités totales et formule de Bayes — arbre pondéré, probabilités totales, valeur prédictive positive, loi binomiale, $P(X \geqslant 1)$ , espérance

Exercice 3 — Décongélation : modèle affine puis suite arithmético-géométrique, limite et seuil en Python p. 3–4

Suites arithmétiques et géométriques · Informatique et algorithmique — $T_{n+1} = 0{,}94T_n + 1{,}5$ , raisonnement par récurrence, suite croissante majorée, $U_n = T_n - 25$ , $T_n = -44 \times 0{,}94^n + 25$ , fonction Python de seuil

Exercice A — Au choix du candidat — Point d'une droite le plus proche d'un point, orthogonalité et volume d'une pyramide p. 4–5

Géométrie vectorielle dans l'espace · Second degré — représentation paramétrique, $AM^2 = 2t^2 - 8t + 14$ , distance minimale, droites orthogonales, projeté orthogonal, volume d'une pyramide

Exercice B — Au choix du candidat — Équation différentielle $y' = y + 2x\mathrm{e}^x$ et étude de $x^2\mathrm{e}^x$ p. 5

Équations différentielles linéaires · Dérivabilité · Fonctions convexes · Fonctions exponentielle et logarithme — $y' = y + 2x\mathrm{e}^x$ , solution particulière, $u(x) = x^2\mathrm{e}^x$ , $y' = y$ , tableau de variations, fonction concave

Dans l'édifice

Dérivabilité Exponentielle et logarithme Limite d'une fonction en un point Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Suites réelles et limites Théorème de définition par récurrence Espaces vectoriels et sous-espaces Anneaux de polynômes Systèmes linéaires et exponentielle de matrices