AnnalesBaccalauréat

Bac Métropole Terminale 2023 — Jour 1, 20 mars 2023 (Métropole, Antilles-Guyane)

QCM de probabilités conditionnelles et loi binomiale, fonction $x^2 - 8\ln(x)$ , suite arithmético-géométrique et modèle exponentiel, cube et plan $(GBD)$ · 4 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice est un QCM sur des machines sous garantie ou défectueuses : probabilités conditionnelles lues sur un arbre, inversion du conditionnement, puis loi binomiale de paramètre $p = 0{,}082$ avec un calcul de $P(X > 2)$ et la recherche de la plus grande taille de lot pour laquelle la probabilité de n'avoir aucune machine défectueuse dépasse $0{,}4$ . Le deuxième exercice étudie $f(x) = x^2 - 8\ln(x)$ sur $\left]0, +\infty\right[$ (limites, dérivée, minimum, existence et unicité d'une solution $\alpha$ de $f(x) = 0$ sur $\left]0, 2\right]$ , la seconde $\beta$ étant admise, signe) et cherche la plus petite valeur de $k$ rendant $g_k = f + k$ positive. Le troisième exercice compare deux modèles du nombre de questions d'une FAQ : la suite $u_{n+1} = 0{,}9u_n + 1{,}3$ , dont l'expression explicite est établie par récurrence et dont un seuil est cherché par un programme Python, et la suite $v_n = 9 - 6\mathrm{e}^{-0{,}19(n-1)}$ . Le quatrième exercice, dans le cube $ABCDEFGH$ d'arête 1, montre que $(EC)$ est orthogonale au plan $(GBD)$ , calcule le point d'intersection $I$ , la distance de $E$ au plan, l'aire du triangle équilatéral $BDG$ et le volume du tétraèdre $EGBD$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — QCM : probabilités conditionnelles, arbre pondéré et loi binomiale p. 1–2

Conditionnement et indépendance · Lois de Bernoulli et binomiale · Probabilités totales et formule de Bayes — arbre pondéré, probabilité conditionnelle, inversion du conditionnement, loi binomiale, $P(X > 2)$ , plus grande taille de lot

Exercice 2 — Étude de la fonction $x^2 - 8\ln(x)$ : limites, variations, solutions de $f(x) = 0$ et fonctions $g_k$ p. 2

Dérivabilité · Fonctions exponentielle et logarithme · Continuité — $f(x) = x^2 - 8\ln(x)$ , tableau de variations, minimum, valeurs intermédiaires, signe d'une fonction, fonction $g_k$

Exercice 3 — Suite arithmético-géométrique, algorithme de seuil et modèle exponentiel : comparaison de deux modèles p. 3–4

Suites arithmétiques et géométriques · Fonctions exponentielle et logarithme · Informatique et algorithmique — $u_{n+1} = 0{,}9u_n + 1{,}3$ , raisonnement par récurrence, suite croissante, algorithme de seuil, $v_n = 9 - 6\mathrm{e}^{-0{,}19(n-1)}$ , comparaison de modèles, limite

Exercice 4 — Géométrie dans le cube : droite orthogonale au plan $(GBD)$ , distance, aire et volume p. 4

Géométrie vectorielle dans l'espace — cube $ABCDEFGH$ , représentation paramétrique, équation cartésienne d'un plan, droite orthogonale à un plan, distance d'un point à un plan, triangle équilatéral, volume d'un tétraèdre

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Dérivabilité Exponentielle et logarithme Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Suites réelles et limites Théorème de définition par récurrence Espaces vectoriels et sous-espaces