AnnalesBaccalauréat

Bac Métropole Terminale 2023 — Jour 2 (remplacement), 12 septembre 2023 (Métropole, Antilles-Guyane)

Test de dépistage chez les vaches et loi binomiale, fonction $(2 - \ln x)\ln x$ et convexité, suite $u_n = \frac{n}{\mathrm{e}^n}$ , QCM de géométrie dans l'espace · 4 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice étudie un test de paratuberculose par un arbre pondéré : probabilité d'un test positif, valeur prédictive positive, probabilité d'une information erronée, puis loi binomiale sur 100 vaches et taille minimale d'échantillon pour avoir au moins un test positif avec une probabilité d'au moins $0{,}99$ . Le deuxième exercice étudie $f(x) = (2 - \ln x)\ln x$ à partir de la courbe de $f'$ puis par le calcul (limites, points d'intersection avec l'axe des abscisses, variations, convexité et point d'inflexion). Le troisième exercice étudie la suite $u_1 = \frac{1}{\mathrm{e}}$ , $u_{n+1} = \frac{1}{\mathrm{e}}\left(1 + \frac{1}{n}\right)u_n$ : programme Python, décroissance grâce à $1 + \frac{1}{n} \leqslant \mathrm{e}$ , convergence, puis formule $u_n = \frac{n}{\mathrm{e}^n}$ par récurrence et limite. Le quatrième exercice est un QCM de géométrie dans l'espace : appartenance à un plan, nature d'un triangle, position d'une droite et d'un plan, angle par le produit scalaire et intersection de deux plans.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Test de dépistage : arbre pondéré, valeur prédictive positive et loi binomiale p. 1–2

Conditionnement et indépendance · Lois de Bernoulli et binomiale · Probabilités totales et formule de Bayes · Fonctions exponentielle et logarithme — arbre pondéré, probabilités totales, valeur prédictive positive, loi binomiale, probabilité d'au moins un succès, taille minimale d'échantillon

Exercice 2 — Fonction $(2 - \ln x)\ln x$ : lecture graphique de $f'$ , variations, convexité et point d'inflexion p. 2–3

Dérivabilité · Fonctions convexes · Fonctions exponentielle et logarithme · Limites de fonctions et asymptotes — $f(x) = (2 - \ln x)\ln x$ , lecture graphique de la dérivée, asymptote verticale, tableau de variations, dérivée seconde, point d'inflexion

Exercice 3 — Suite récurrente $u_{n+1} = \frac{1}{\mathrm{e}}\left(1 + \frac{1}{n}\right)u_n$ : monotonie, récurrence et limite p. 3

Suites numériques · Informatique et algorithmique · Fonctions exponentielle et logarithme — suite définie par récurrence, suite décroissante minorée, $1 + \frac{1}{n} \leqslant \mathrm{e}$ , raisonnement par récurrence, $u_n = \frac{n}{\mathrm{e}^n}$ , croissances comparées, programme Python

Exercice 4 — QCM de géométrie dans l'espace : plans, droite, triangle et angle p. 4

Géométrie vectorielle dans l'espace — équation cartésienne d'un plan, représentation paramétrique, position relative droite et plan, produit scalaire, angle $\widehat{ABC}$ , position relative de deux plans, nature d'un triangle

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Exponentielle et logarithme Dérivabilité Limite d'une fonction en un point Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Théorème de définition par récurrence Espaces vectoriels et sous-espaces