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CCINP MP 2012 — Maths 2

Congruences modulo 11 ; éléments propres de l'endomorphisme $M \mapsto AM - MA$ · 4 pages

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Un court exercice détermine l'ordre de 3 modulo 11 et en déduit que $3^{n+2012} - 9 \times 5^{2n}$ est divisible par 11. Le problème étudie l'endomorphisme $\varphi_A : M \mapsto AM - MA$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ : il montre que $\varphi_A$ est diagonalisable si et seulement si $A$ l'est (calcul direct pour $n = 2$ , puis cas général via les matrices $P E_{ij} P^{-1}$ et un argument sur les valeurs propres complexes), minore la dimension de son noyau par le degré du polynôme minimal de $A$ , calcule ce noyau quand $A$ est nilpotente d'indice $n$ ou diagonalisable, et prouve qu'un vecteur propre associé à une valeur propre non nulle est une matrice nilpotente.

Le sujet, partie par partie

Exercice — Congruences modulo 11 p. 1

Congruences et Z/nZ · Petit théorème de Fermat et indicatrice d'Euler — congruences modulo 11, ordre de 3 modulo 11, divisibilité, puissances modulo $n$

Notations et Partie I — Étude du cas $n = 2$ p. 1–2

Diagonalisation · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Calcul matriciel — crochet $AM - MA$ , matrice d'un endomorphisme de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ , polynôme caractéristique factorisé, critère de diagonalisabilité, base canonique $E_{ij}$

Partie II — Étude du cas général p. 2–3

Diagonalisation · Réduction des endomorphismes · Calcul matriciel · Nombres complexes — diagonalisabilité de $M \mapsto AM - MA$ , vecteurs propres $P E_{ij} P^{-1}$ , valeurs propres réelles, valeur propre de la transposée, matrice $X\,{}^t\!Y$

Partie III — Vecteurs propres associés à la valeur propre $0$ p. 3–4

Polynômes d'endomorphismes · Nilpotents, Jordan, Dunford · Sous-espaces stables · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Endomorphismes cycliques et matrice compagnon · Diagonalisation — commutant, algèbre $\mathbb{R}[A]$ , polynôme minimal, endomorphisme nilpotent d'indice $n$ , vecteur cyclique, dimension du commutant, sous-espaces propres stables

Partie IV — Vecteurs propres associés à une valeur propre non nulle p. 4

Nilpotents, Jordan, Dunford · Polynômes d'endomorphismes · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Polynômes — polynôme minimal, dérivée d'un polynôme, matrice nilpotente, relation $AB - BA = \alpha B$

Dans l'édifice

Les anneaux ℤ/nℤ Matrices d'une application linéaire Déterminant d'un endomorphisme Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Applications linéaires Anneaux de polynômes