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CCINP MP 2019 — Maths 2

Valuations $p$ -adiques en Python, endomorphismes normaux et similitude de matrices · 8 pages

Un premier exercice d'informatique fait programmer en Python le test de primalité, la valuation $p$ -adique (version itérative et récursive) et la décomposition en facteurs premiers ; un second montre, dans un espace euclidien, l'équivalence de trois caractérisations des endomorphismes commutant avec leur adjoint. Le problème étudie des méthodes pour prouver que deux matrices sont semblables : invariants de similitude, matrices de rang 1, matrices symétriques complexes, puis il démontre que deux matrices réelles semblables sur $\mathbb{C}$ le sont sur $\mathbb{R}$ et que polynômes caractéristique et minimal caractérisent la similitude en taille 2 mais pas en taille 4.

Le sujet, partie par partie

Exercice I — Algorithme de décomposition primaire d'un entier p. 2

Informatique et algorithmique · Nombres premiers — Python, test de primalité, valuation $p$ -adique, fonction récursive, décomposition en facteurs premiers

Exercice II — Endomorphismes commutant avec leur adjoint p. 3

Espaces préhilbertiens et euclidiens · Applications linéaires et rang · Endomorphismes symétriques, théorème spectral — espace euclidien, adjoint, endomorphisme normal, endomorphisme antisymétrique, norme euclidienne

Partie I — Étude de quelques exemples p. 3–4

Calcul matriciel · Diagonalisation · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Applications linéaires et rang · Déterminants · Matrices remarquables — matrices semblables, invariants par similitude, polynôme minimal, matrice de rang 1, matrice symétrique complexe, changement de base

Partie II — Démonstration d'un résultat p. 4–5

Calcul matriciel · Déterminants · Polynômes · Diagonalisation · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton — similitude réelle et complexe, partie réelle et imaginaire d'une matrice, polynôme $\det(R + xS)$ , polynôme non nul, matrice inversible

Partie III — Polynôme caractéristique, polynôme minimal et similitude p. 5

Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Nilpotents, Jordan, Dunford · Matrices par blocs · Trigonalisation — polynôme minimal, polynôme caractéristique, matrices semblables, contre-exemple en dimension 4, blocs de Jordan

Dans l'édifice

Théorème de définition par récurrence Théorème fondamental de l'arithmétique Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Applications linéaires Théorème du rang Matrices d'une application linéaire Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Anneaux de polynômes