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Centrale-Supélec PC 2022 — Maths 1

Matrice de covariance et analyse en composantes principales · 4 pages

Le sujet établit d'abord qu'une matrice réelle est orthodiagonalisable si et seulement si elle est symétrique, puis montre que le rayon spectral d'une matrice symétrique est le maximum de $|U^\top A U|$ sur la sphère unité et définit une norme sur les matrices symétriques. Il étudie ensuite la matrice de covariance d'un vecteur aléatoire discret (symétrique à valeurs propres positives, toute telle matrice étant une covariance, $Y - \mathbb{E}(Y)$ presque sûrement dans son image), et termine par la maximisation de la variance de $U^\top Y$ sur la sphère, principe de l'analyse en composantes principales.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Généralités sur les matrices symétriques réelles p. 1–2

Théorème spectral · Quotient de Rayleigh et Courant-Fischer · Matrices symétriques positives · Compacité · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Nilpotents, Jordan, Dunford — matrice orthodiagonalisable, rayon spectral, matrice de Hilbert, produit scalaire intégral, sphère unité fermée, norme sur les matrices symétriques

Partie II — Matrice de covariance p. 2–3

Covariance et corrélation · Matrices symétriques positives · Théorème spectral · Espérance, variance, moments · Applications linéaires et rang · Lois de Bernoulli et binomiale — matrice de covariance, vecteur aléatoire discret, variance totale, noyau et image supplémentaires orthogonaux, variance nulle presque sûrement

Partie III — Maximisation de la variance p. 3–4

Quotient de Rayleigh et Courant-Fischer · Covariance et corrélation · Théorème spectral · Compacité · Matrices remarquables — analyse en composantes principales, maximisation de la variance, matrice dont tous les coefficients valent $1$ , composantes principales décorrélées, valeur propre maximale

Dans l'édifice

Espaces de Hilbert et théorème de projection Compacité Théorème de représentation de Riesz Matrices d'une application linéaire Espérance, variance et inégalités Applications linéaires Théorème du rang Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition