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Centrale-Supélec PC 2023 — Maths 1

Théorème de Perron-Frobenius pour une classe de matrices symétriques positives · 4 pages

Après des préliminaires sur le cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire, le sujet traite le cas des matrices strictement positives de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ (valeurs propres, limite des puissances), puis relie normes sous-multiplicatives et rayon spectral ( $A^k$ tend vers $0$ si et seulement si $\rho(A) < 1$ ). Il démontre enfin le théorème de Perron-Frobenius pour des matrices symétriques à coefficients positifs : existence d'une valeur propre égale au rayon spectral, associée à un vecteur propre strictement positif, puis en tire une localisation du spectre plus fine que celle des disques de Gershgorin.

Le sujet, partie par partie

I — Résultats préliminaires p. 1–2

Inégalité de Cauchy-Schwarz · Nombres complexes · Matrices positives et stochastiques — cas d'égalité de l'inégalité triangulaire, module d'une somme

II — Matrices strictement positives de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ p. 2

Diagonalisation · Théorème de Perron-Frobenius · Matrices stochastiques et bistochastiques — discriminant du polynôme caractéristique, puissances d'une matrice, projecteur limite

III — Normes sous-multiplicatives, rayon spectral p. 2–3

Normes subordonnées et applications linéaires continues · Trigonalisation · Espaces vectoriels normés — rayon spectral, convergence de $A^k$ vers $0$ , norme sous-multiplicative

IV — Perron-Frobenius pour des matrices symétriques positives p. 3–4

Théorème de Perron-Frobenius · Théorème spectral · Quotient de Rayleigh et Courant-Fischer · Nombres complexes · Matrices positives et stochastiques — quotient de Rayleigh, vecteur propre positif, disques de Gershgorin, théorème de Ky Fan, théorème de Perron-Frobenius

Dans l'édifice

Espaces de Hilbert et théorème de projection Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Matrices d'une application linéaire Applications linéaires continues et dual topologique Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Normes en dimension finie