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e3a-Polytech PSI 2015 — Maths 2

Meilleure approximation d'un endomorphisme symétrique par un endomorphisme positif de rang au plus 1 · 3 pages

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Le sujet munit l'espace $S(E)$ des endomorphismes symétriques du produit scalaire $(f, g) \mapsto \operatorname{Tr}(f \circ g)$ et montre que les endomorphismes symétriques positifs de rang au plus 1 sont exactement les $u_a : x \mapsto (x|a)a$ . Pour $f$ symétrique fixé, il minimise $\Phi(x) = N(f - u_x)^2$ : le minimum vaut $N(f)^2$ , atteint seulement en $0$ , quand la plus grande valeur propre $\lambda_p$ est négative ou nulle, et la somme des carrés des $p - 1$ plus petites valeurs propres quand $\lambda_p > 0$ , atteint exactement pour les vecteurs propres associés à $\lambda_p$ de norme $\sqrt{\lambda_p}$ . Il applique ce résultat à une matrice symétrique stochastique, à la matrice $B$ dont tous les coefficients valent 1 et à la matrice $C = B - I$ (zéros sur la diagonale, 1 ailleurs).

Le sujet, partie par partie

Préliminaires p. 1

Calcul matriciel · Dualité · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Réduction des endomorphismes · Applications linéaires et rang — trace, $\operatorname{Tr}(AB) = \operatorname{Tr}(BA)$ , hyperplan, produit scalaire de Frobenius, éléments propres

Partie 1 — Endomorphismes symétriques positifs de rang 1 p. 1–2

Endomorphismes symétriques, théorème spectral · Applications linéaires et rang · Matrices symétriques positives · Réduction des endomorphismes — endomorphisme de rang 1, endomorphisme symétrique positif, trace, $x \mapsto (x|a)a$ , vecteur propre

Partie 2 — Minimisation de $\Phi$ p. 2

Théorème spectral · Extrema et optimisation · Quotient de Rayleigh et Courant-Fischer · Points critiques et hessienne — approximation de rang 1, quotient de Rayleigh, plus grande valeur propre, existence d'un minimum, base orthonormée de vecteurs propres, norme de Frobenius

Partie 3 — Exemples p. 3

Théorème spectral · Matrices stochastiques et bistochastiques · Diagonalisation · Matrices remarquables · Localisation des valeurs propres — matrice symétrique stochastique, valeurs propres de module au plus 1, projecteur orthogonal, matrice de coefficients tous égaux à 1, matrice $B - I$

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Espace dual Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Déterminant d'un endomorphisme Applications linéaires Théorème du rang Applications différentiables