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Mines-Ponts PC 2023 — Maths 1

Quelques inégalités de convexité autour du déterminant · 6 pages

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Le sujet établit des inégalités de convexité sur les matrices symétriques positives. Après la caractérisation spectrale de $\mathcal{S}_n^{+}(\mathbb{R})$ et $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ , leur convexité, l'existence d'une racine carrée et l'inégalité de Jensen discrète, il compare trace et déterminant par l'inégalité arithmético-géométrique (avec un terme correctif en norme de Frobenius), puis prouve l'inégalité de Minkowski $\det^{1/n}(A+B) \geqslant \det^{1/n}(A) + \det^{1/n}(B)$ et la log-concavité du déterminant par réduction simultanée. Il termine par l'inégalité $\ln \det(I + tA) \leqslant t \operatorname{Tr}(A)$ , le développement limité de $\det(A + tM)$ et le calcul de la dérivée seconde de $\varphi_\alpha = (1/\alpha) \det^{-\alpha}(A + tM)$ , dont il montre la positivité en $0$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie 1 p. 2–3

Matrices symétriques positives · Inégalité de Jensen · Ensembles convexes · Théorème spectral — racine carrée d'une matrice, inégalité de Jensen

Partie 2 p. 3–4

Inégalité arithmético-géométrique · Déterminants · Matrices symétriques positives · Théorème spectral — trace et déterminant, norme de Frobenius, inégalité arithmético-géométrique

Partie 3 p. 4–5

Déterminants · Matrices symétriques positives · Fonctions convexes · Théorème spectral — inégalité de Minkowski pour le déterminant, log-concavité du déterminant, réduction simultanée, convexité de $\ln(1+e^t)$

Partie 4 p. 5

Déterminants · Fonctions convexes · Dérivabilité — $\det(I+tA)$ , $\ln \det(I+tA) \leqslant t \cdot \operatorname{Tr}(A)$

Partie 5 p. 5–6

Développements limités · Déterminants · Calcul différentiel · Fonctions convexes · Matrices symétriques positives — dérivée du déterminant, formule de Jacobi, développement limité de l'inverse, convexité de $\det^{-\alpha}$

Dans l'édifice

Espaces de Hilbert et théorème de projection Dérivabilité Théorème de Hahn-Banach Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Applications différentiables Fonctions de classe Cᵏ Inégalité des accroissements finis