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Mines-Ponts PSI 2014 — Maths 1

Somme de projecteurs orthogonaux · 4 pages

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Le sujet caractérise les endomorphismes symétriques positifs d'un espace euclidien qui sont sommes finies de projecteurs orthogonaux : c'est le cas si et seulement si leur trace est un entier supérieur ou égal à leur rang. Après des préliminaires sur la trace et le rang d'un projecteur, il retire successivement des projecteurs orthogonaux de rang 1, en construisant un vecteur $w$ de norme 1 vérifiant aussi $\xi(w, w) = (U^{-1}w \mid w) = 1$ pour le produit scalaire auxiliaire $\xi(x, y) = (U^{-1}x \mid y)$ .

Le sujet, partie par partie

Notations, 1 — Trace et 2 — Projecteurs p. 2

Projecteurs et trace · Calcul matriciel · Espaces vectoriels et dimension · Applications linéaires et rang — trace, invariant de similitude, projecteur, rang d'un projecteur égal à sa trace, dimension d'une somme de sous-espaces

3 — Décomposition en somme de projecteurs orthogonaux p. 3–4

Projecteurs et trace · Matrices symétriques positives · Projection orthogonale et moindres carrés · Théorème spectral · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Applications linéaires et rang — endomorphisme symétrique positif, projecteur orthogonal, projecteur de rang 1, base orthonormée de vecteurs propres, produit scalaire auxiliaire, somme de projecteurs orthogonaux

Dans l'édifice

Applications linéaires Théorème du rang Matrices d'une application linéaire Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz