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Mines-Ponts PSI 2017 — Maths 2

Endomorphismes échangeurs · 7 pages

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Un endomorphisme $u$ d'un $\mathbb{C}$ -espace de dimension finie est dit échangeur s'il existe une décomposition $E = F \oplus G$ avec $u(F) \subset G$ et $u(G) \subset F$ . Le sujet établit l'équivalence entre trois conditions : $u$ est échangeur, $u$ est somme de deux endomorphismes de carré nul, $u$ est semblable à $-u$ . Il passe par la dimension 2, des calculs par blocs, la décomposition de $E$ en sous-espace caractéristique et image d'une puissance (lemme de Fitting), puis une réduction au cas d'un endomorphisme indécomposable.

Le sujet, partie par partie

Partie A — Quelques considérations en dimension 2 p. 3

Réduction des endomorphismes · Diagonalisation · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton — trace nulle, déterminant, spectre, sous-espaces propres, matrices semblables, dimension 2

Partie B — La condition (C1) implique (C2) et (C3) p. 3–4

Matrices par blocs · Sous-espaces stables · Nilpotents, Jordan, Dunford · Calcul matriciel — matrice par blocs, matrice de carré nul, similitude, endomorphisme échangeur, somme directe

Partie C — La condition (C2) implique (C1) : cas d'un automorphisme p. 4

Applications linéaires et rang · Nilpotents, Jordan, Dunford · Espaces vectoriels et dimension — endomorphisme de carré nul, image incluse dans le noyau, théorème du rang, somme directe de noyaux

Partie D — Intermède : un principe de décomposition p. 4–5

Polynômes d'endomorphismes · Sous-espaces stables · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Nilpotents, Jordan, Dunford · Réduction des endomorphismes — suite des noyaux itérés, sous-espace caractéristique, lemme de Fitting, endomorphisme induit, polynôme caractéristique

Partie E — La condition (C2) implique (C1) : cas non bijectif p. 6

Nilpotents, Jordan, Dunford · Sous-espaces stables · Polynômes d'endomorphismes — endomorphisme nilpotent, endomorphismes qui commutent, sous-espace stable, endomorphisme induit de carré nul

Partie F — La condition (C3) implique (C1) p. 6–7

Réduction des endomorphismes · Sous-espaces stables · Polynômes d'endomorphismes — endomorphisme indécomposable, $u$ semblable à $-u$ , commutation, valeurs propres, sous-espaces caractéristiques

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Déterminant d'un endomorphisme Applications linéaires Théorème du rang Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Anneaux de polynômes