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Mines-Ponts PSI 2024 — Maths 2

Étude de marche aléatoire · 6 pages

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Le sujet étudie d'abord les fonctions intégrables sur $\left]a, b\right[$ pour lesquelles les sommes de Riemann convergent vers l'intégrale, construit un contre-exemple, puis montre que $t \mapsto 1/\sqrt{t(1-t)}$ vérifie cette propriété, d'intégrale $\pi$ , et en déduit un équivalent de $\sum 1/\sqrt{k}$ . Il étudie ensuite une marche aléatoire simple symétrique sur $2n$ pas : probabilité de retour à l'origine, espérance du nombre d'indices d'égalité, équivalente à $2\sqrt{n}/\sqrt{\pi}$ , puis compare avec le tirage sans remise de $n$ boules blanches et $n$ noires, où l'espérance du nombre d'indices d'égalité est équivalente à $\sqrt{\pi n}$ .

Le sujet, partie par partie

Partie 1 — Une propriété sur les sommes de Riemann p. 2–4

Sommes de Riemann et méthodes de quadrature · Intégrales généralisées et intégrabilité · Équivalents et comparaison · Suites numériques — sommes de Riemann, fonction intégrable, contre-exemple, fonction $1/\sqrt{t(1-t)}$ , équivalent de la somme des $1/\sqrt{k}$

Partie 2 — Une étude de marche aléatoire p. 4–6

Marches aléatoires · Espérance, variance, moments · Coefficients binomiaux · Formule de Stirling · Équivalents et comparaison · Lois de Bernoulli et binomiale — marche aléatoire simple, indice d'égalité, retour à l'origine, variables indicatrices, coefficients binomiaux centraux, sommation des équivalents, tirage sans remise

Dans l'édifice

Intégrale de Riemann Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Indépendance d'événements et de tribus Espérance, variance et inégalités Ensembles finis et principe des tiroirs Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition