AnnalesÉcoles d'ingénieurs

X-ENS MP 2011 — Maths A

Valeurs singulières d'une matrice et inégalités de traces · 4 pages

PDF hébergé hors du site officiel — source : vmaths.fr

Le problème caractérise les matrices normales (diagonalisables en base orthonormée, adjointe polynôme en $A$ , $A^* = AU$ avec $U$ unitaire commutant), construit la racine carrée d'une matrice hermitienne positive puis la décomposition en valeurs singulières. Il établit ensuite des inégalités de traces : principe de Ky Fan pour les projecteurs orthogonaux de rang $k$ , maximum de $\sum A_{ij} \alpha_i \beta_j$ sur les matrices bistochastiques, inégalité de von Neumann $|\operatorname{Tr}(AB)| \leqslant \sum \alpha_i \beta_i$ , et enfin la distance minimale de Frobenius entre $A$ et les $U^*BU$ , égale à la racine de $\sum (\alpha_i - \beta_i)^2$ (théorème de Hoffman-Wielandt).

Le sujet, partie par partie

Notations et Première partie — Étude de $\mathcal{N}_n$ p. 1–2

Théorème spectral · Sous-espaces stables · Isométries et groupe orthogonal · Interpolation polynomiale · Polynômes d'endomorphismes · Espaces préhilbertiens et euclidiens — matrice normale, matrice unitaire, adjoint, produit scalaire hermitien, diagonalisation en base orthonormée, interpolation de Lagrange

Deuxième partie — Valeurs singulières d'une matrice p. 2–3

Valeurs singulières et conditionnement · Matrices symétriques positives · Théorème spectral · Isométries et groupe orthogonal — matrice hermitienne positive, racine carrée d'une matrice, décomposition polaire, décomposition en valeurs singulières

Troisième partie — Inégalités de traces p. 3–4

Entrelacement et inégalités spectrales · Matrices stochastiques et bistochastiques · Valeurs singulières et conditionnement · Projecteurs et trace · Quotient de Rayleigh et Courant-Fischer · Inégalités classiques — principe de Ky Fan, matrice bistochastique, inégalité de trace de von Neumann, théorème de Hoffman-Wielandt, norme de Frobenius, projecteur orthogonal de rang $k$

Dans l'édifice

Espaces de Hilbert et théorème de projection Applications linéaires Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupes de Lie et groupes de matrices Anneaux de polynômes Théorème de représentation de Riesz Matrices d'une application linéaire Théorème du rang Espaces vectoriels normés et espaces de Banach