Exercice 4

1. $d(1)=1+2=3$ et $d(3)=9+6=15$, donc la vitesse moyenne vaut $$\dfrac{d(3)-d(1)}{3-1}=\dfrac{15-3}{2}=\boxed{6 \text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}$$

2. $d(1+h)=(1+h)^{2}+2(1+h)=1+2h+h^{2}+2+2h=3+4h+h^{2}$, et $d(1)=3$, donc $$\dfrac{d(1+h)-d(1)}{h}=\dfrac{4h+h^{2}}{h}=\boxed{4+h}$$

3. Lorsque $h$ devient très petit, cette expression se rapproche de $4$ : $$\boxed{\text{la vitesse instantanée à l'instant } t=1 \text{ vaut } 4 \text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.}$$

4. $d'(t)=2t+2$, donc $d'(3)=\boxed{8 \text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}$ et $d'(10)=\boxed{22 \text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}$.

Vérification : $d'(1)=2+2=4$, ce qui confirme la question 3.

5. On résout $d'(t)=12$ : $$2t+2=12 \iff 2t=10 \iff \boxed{t=5 \text{ s}}$$

6. Avec $a=1$ et $h=0{,}02$ : $$d(1{,}02)\approx d(1)+0{,}02\times d'(1)=3+0{,}02\times 4=\boxed{3{,}08 \text{ m}}$$ (la valeur exacte est $1{,}02^{2}+2\times 1{,}02=3{,}0804$)