ExercicePremière, chapitre 4 — Dérivation · Taux de variation et nombre dérivé

Exercice 3

ConjectureCalcul

Partie A : approcher un nombre dérivé par le calcul

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^{2}$ . On s'intéresse au nombre dérivé de $f$ en $3$ .

1. Recopier et compléter le tableau suivant, en arrondissant si nécessaire au millième.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline h & 1 & 0{,}5 & 0{,}1 & 0{,}01 & -0{,}01 & -0{,}1 & -0{,}5 \\ \hline \dfrac{f(3+h)-f(3)}{h} & & & & & & & \\ \hline \end{array}

2. De quelle valeur le taux de variation semble-t-il se rapprocher lorsque $h$ se rapproche de $0$ , que ce soit par valeurs positives ou négatives ? Conjecturer la valeur de $f'(3)$ .

3. Retrouver ce résultat en utilisant la formule de dérivation de $x\mapsto x^{2}$ .

4. Reprendre les questions 1 et 2 avec la fonction $g$ définie sur $[0\,;+\infty[$ par $g(x)=\sqrt{x}$ , au point $a=4$ , en se limitant à $h=1$  ; $0{,}1$  ; $0{,}01$  ; $0{,}001$ . Vérifier ensuite à l'aide de la formule du cours.

Partie B : approcher $f(a+h)$

Lorsque $h$ est très petit, le taux de variation $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ est très proche de $f'(a)$ . On peut donc écrire : $f(a+h)\approx f(a)+h\times f'(a)$

5. Justifier cette écriture à partir de la définition du taux de variation.

6. En utilisant $f(3)=9$ et $f'(3)=6$ , donner une valeur approchée de $f(3{,}02)$ sans calculer $3{,}02^{2}$ . Comparer ensuite avec la valeur exacte, et calculer l'erreur commise.

7. De la même manière, donner une valeur approchée de $\sqrt{4{,}1}$ , puis comparer à la valeur affichée par la calculatrice.

8. Soit $k$ la fonction inverse, définie sur $\mathbb{R}^{*}$ par $k(x)=\dfrac{1}{x}$ . Calculer $k(2)$ et $k'(2)$ , puis donner une valeur approchée de $\dfrac{1}{2{,}05}$ . Comparer à la valeur exacte.

9. L'approximation est-elle meilleure pour $h=0{,}1$ ou pour $h=0{,}001$  ? Expliquer.

Corrigé

Partie A

1. D'après l'exercice 2, le taux vaut $6+h$ . On complète donc directement :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline h & 1 & 0{,}5 & 0{,}1 & 0{,}01 & -0{,}01 & -0{,}1 & -0{,}5 \\ \hline \dfrac{f(3+h)-f(3)}{h} & 7 & 6{,}5 & 6{,}1 & 6{,}01 & 5{,}99 & 5{,}9 & 5{,}5 \\ \hline \end{array}

2. Lorsque $h$ se rapproche de $0$ par valeurs positives, le taux se rapproche de $6$ en restant supérieur à $6$  ; lorsque $h$ s'en rapproche par valeurs négatives, le taux se rapproche de $6$ en restant inférieur à $6$ . Le nombre $6$ est donc encadré d'aussi près que l'on veut : $\boxed{f'(3)=6}$

3. La formule du cours donne $f'(x)=2x$ , donc $f'(3)=2\times 3=6$ . On retrouve bien la valeur conjecturée.

4. Pour $g(x)=\sqrt{x}$ en $a=4$ , le taux vaut $\dfrac{\sqrt{4+h}-2}{h}$ :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline h & 1 & 0{,}1 & 0{,}01 & 0{,}001 \\ \hline \dfrac{g(4+h)-g(4)}{h} & 0{,}2361 & 0{,}2485 & 0{,}2498 & 0{,}2500 \\ \hline \end{array}

Le taux se rapproche de $0{,}25$ , donc $\boxed{g'(4)=\dfrac{1}{4}}$ .

Vérification : $g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ , donc $g'(4)=\dfrac{1}{2\times 2} =\dfrac{1}{4}$ .

Partie B

5. Lorsque $h$ est très petit, on a $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\approx f'(a)$ . En multipliant les deux membres par $h$ , il vient $f(a+h)-f(a)\approx h\times f'(a)$ , puis $\boxed{f(a+h)\approx f(a)+h\times f'(a)}$

6. Avec $a=3$ et $h=0{,}02$ : $f(3{,}02)\approx f(3)+0{,}02\times f'(3)=9+0{,}02\times 6=9+0{,}12=\boxed{9{,}12}$ La valeur exacte est $3{,}02^{2}=9{,}1204$ . L'erreur commise vaut donc $\boxed{0{,}0004}$ , soit moins de un dix-millième.

7. Avec $g(x)=\sqrt{x}$ , $a=4$ et $h=0{,}1$ : $\sqrt{4{,}1}\approx g(4)+0{,}1\times g'(4)=2+0{,}1\times\dfrac{1}{4}=\boxed{2{,}025}$ La calculatrice donne $\sqrt{4{,}1}\approx 2{,}02485$ : l'erreur est d'environ $1{,}5\times 10^{-4}$ .

8. $k(2)=\dfrac{1}{2}=0{,}5$ et $k'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}$ , donc $k'(2)=-\dfrac{1}{4}=-0{,}25$ . Avec $h=0{,}05$ : $\dfrac{1}{2{,}05}\approx 0{,}5+0{,}05\times(-0{,}25)=0{,}5-0{,}0125=\boxed{0{,}4875}$ La valeur exacte est $\dfrac{1}{2{,}05}\approx 0{,}48780$ : l'erreur vaut environ $3\times 10^{-4}$ .

9. L'approximation est bien meilleure pour $h=0{,}001$ . En effet, plus $h$ est petit, plus le taux de variation est proche de $f'(a)$ , donc plus le remplacement de l'un par l'autre est légitime. Géométriquement, on remplace la courbe par sa tangente : cette substitution n'est acceptable qu'au voisinage immédiat du point de contact.

Énoncé PDF, p. 1 Corrigé PDF, p. 2 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Opérations sur les fonctions dérivables Signe de la dérivée et monotonie Dérivabilité en un point

Thèmes

taux de variation, nombre dérivé, fonction dérivée, produit et quotient, racine carrée, variations, optimisation

Notions

dérivable