Exercice 2

a) $\dfrac{(3+h)^{2}-3^{2}}{h}=\dfrac{9+6h+h^{2}-9}{h}=\dfrac{h(6+h)}{h}=\boxed{6+h}$

Lorsque $h$ devient très proche de $0$, cette expression se rapproche de $6$ : $\boxed{f'(3)=6}$.

b) $f(1+h)=(1+h)^{2}+2(1+h)=1+2h+h^{2}+2+2h=3+4h+h^{2}$ et $f(1)=3$, donc le taux vaut $$\dfrac{4h+h^{2}}{h}=\boxed{4+h} \qquad\text{et}\qquad \boxed{f'(1)=4}$$

c) $f(2+h)=3(2+h)^{2}-(2+h)=3(4+4h+h^{2})-2-h=10+11h+3h^{2}$ et $f(2)=10$, donc $$\dfrac{11h+3h^{2}}{h}=\boxed{11+3h} \qquad\text{et}\qquad \boxed{f'(2)=11}$$

d) $(1+h)^{3}=1+3h+3h^{2}+h^{3}$ et $f(1)=1$, donc $$\dfrac{3h+3h^{2}+h^{3}}{h}=\boxed{3+3h+h^{2}} \qquad\text{et}\qquad \boxed{f'(1)=3}$$

e) $\dfrac{\frac{1}{2+h}-\frac{1}{2}}{h} =\dfrac{\frac{2-(2+h)}{2(2+h)}}{h} =\dfrac{\frac{-h}{2(2+h)}}{h}=\boxed{-\dfrac{1}{2(2+h)}}$

Lorsque $h$ se rapproche de $0$, le dénominateur se rapproche de $4$, donc $\boxed{f'(2)=-\dfrac{1}{4}}$.

f) $\dfrac{5(a+h)-4-(5a-4)}{h}=\dfrac{5a+5h-4-5a+4}{h}=\dfrac{5h}{h}=\boxed{5}$

Remarque sur f). Le taux ne dépend ni de $a$, ni de $h$ : il vaut $5$ partout. On retrouve le résultat du cours, à savoir que la fonction affine $x\mapsto ax+b$ a pour dérivée la fonction constante $x\mapsto a$.