Exercice 33

Partie A. $(E) : (m-2)x=6$

1. Pour $m=5$ : $(5-2)x=6$, soit $3x=6$, donc $\boxed{x=2}$.

Pour $m=0$ : $(0-2)x=6$, soit $-2x=6$, donc $\boxed{x=-3}$.

2. Pour $m=2$, l'équation devient $0\times x=6$, c'est-à-dire $0=6$. Cette égalité est fausse quel que soit $x$ : $$\boxed{\text{Pour } m=2,\ (E) \text{ n'admet aucune solution.}}$$

3. Dès que $m-2\neq 0$, on peut diviser les deux membres par $m-2$ : $$\boxed{\text{Pour tout } m\neq 2,\ (E) \text{ admet l'unique solution } x=\frac{6}{m-2}.}$$

4. On cherche $m$ tel que $\dfrac{6}{m-2}=1$, c'est-à-dire $6=m-2$ : $$\boxed{m=8}$$ Vérification : pour $m=8$, l'équation s'écrit $6x=6$, dont la solution est bien $1$.

Partie B. $(F) : (m-1)x+3=m+2$

5. On retranche $3$ aux deux membres : $$(m-1)x+3=m+2 \iff (m-1)x=m+2-3 \iff \boxed{(m-1)x=m-1}$$

6. Pour $m=4$ : $3x=3$, donc $\boxed{x=1}$. Pour $m=-3$ : $-4x=-4$, donc $\boxed{x=1}$.

7. Pour $m=1$, l'équation devient $0\times x=0$, c'est-à-dire $0=0$. Cette égalité est vraie quel que soit $x$ : $$\boxed{\text{Pour } m=1,\ \text{tous les réels sont solutions.}}$$

8. On distingue donc deux cas : $$\boxed{\begin{array}{l} \text{si } m\neq 1 : \text{ on divise par } m-1 \text{ et } (F) \text{ admet l'unique solution } x=1 ; \\[1mm] \text{si } m=1 : \text{ tous les réels sont solutions.} \end{array}}$$

On remarque que la solution ne dépend pas de $m$ : c'est toujours $1$. C'était prévisible dès la question 5, puisque l'équation $(m-1)x=m-1$ est vérifiée par $x=1$ quelle que soit la valeur de $m$ — mais elle l'est alors par tous les réels lorsque $m-1$ s'annule.