Exercice 32

1. On développe chaque carré séparément : $$E=(2x+1)^{2}-(x-3)^{2}=\big(4x^{2}+4x+1\big)-\big(x^{2}-6x+9\big)=4x^{2}+4x+1-x^{2}+6x-9$$

$$\boxed{E=3x^{2}+10x-8}$$ Piège classique : le signe $-$ devant le second carré porte sur ses trois termes.

2. On reconnaît $a^{2}-b^{2}$ avec $a=2x+1$ et $b=x-3$ : $$E=\big[(2x+1)-(x-3)\big]\big[(2x+1)+(x-3)\big]=(2x+1-x+3)(2x+1+x-3)$$

3. $(x+4)(3x-2)=3x^{2}-2x+12x-8=3x^{2}+10x-8$ : on retrouve bien la forme développée de la question 1.

4. Forme initiale : $E=(2\times 1+1)^{2}-(1-3)^{2}=9-4=5$.

Forme factorisée : $E=(1+4)(3\times 1-2)=5\times 1=5$. $\boxed{E=5}$

5. $E=0 \iff (x+4)(3x-2)=0 \iff x+4=0$ ou $3x-2=0$ : $$\boxed{S=\left\{-4\,;\dfrac{2}{3}\right\}}$$

6. $E=-8 \iff 3x^{2}+10x-8=-8 \iff 3x^{2}+10x=0$. On factorise par $x$ : $$x(3x+10)=0 \qquad \boxed{S=\left\{-\dfrac{10}{3}\,;0\right\}}$$ Ici c'est la forme développée qui sert, car c'est elle qui fait apparaître le facteur commun après simplification du $-8$.

7. Valeurs interdites : $x+4=0$ donne $x=-4$.

Numérateur nul : $E=0$ donne $x=-4$ ou $x=\frac{2}{3}$ (question 5).

Comparaison : on rejette $-4$, qui est la valeur interdite. $$\boxed{S=\left\{\dfrac{2}{3}\right\}}$$

8. L'équation $E=0$ a deux solutions, tandis que $\dfrac{E}{x+4}=0$ n'en a qu'une. $$\boxed{\text{Le dénominateur n'apporte jamais de solution : il en retire.}}$$ Ici, $-4$ annule à la fois le numérateur et le dénominateur ; le quotient n'existe donc pas en ce point, et la solution disparaît.