Exercice 4

1. $f(x)=2x-7$. Chercher l'antécédent de $3$, c'est résoudre $f(x)=3$ : $$2x-7=3 \iff 2x=10 \iff \boxed{x=5}$$

$$2x-7=0 \iff 2x=7 \iff \boxed{x=\frac{7}{2}=3{,}5} \qquad ; \qquad 2x-7=-7 \iff 2x=0 \iff \boxed{x=0}$$ Chaque nombre admet ici un unique antécédent.

2. $g(x)=x^{2}$ : $$x^{2}=9 \iff \boxed{x=3 \text{ ou } x=-3}$$

$$x^{2}=-4 : \boxed{\text{aucun antécédent}}, \text{ car un carré est toujours positif}$$ On retrouve les trois cas de la proposition 5 du cours.

3. $h(x)=(x-1)(x+4)$. Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : $$(x-1)(x+4)=0 \iff x-1=0 \text{ ou } x+4=0 \iff \boxed{x=1 \text{ ou } x=-4}$$

4. $k(x)=\dfrac{3}{x}$, définie pour $x\neq 0$ : $$\frac{3}{x}=6 \iff 3=6x \iff \boxed{x=\frac{1}{2}}$$ Pour $0$ : il faudrait $\dfrac{3}{x}=0$, donc $3=0\times x=0$, ce qui est absurde. $$\boxed{0 \text{ n'admet aucun antécédent par } k}$$ C'est le premier point de la proposition 3 du cours : un inverse n'est jamais nul.