Exercice 10

1. Un point $M(a\,;b)$ appartient à $\mathcal{C}_f$ si et seulement si $f(a)=b$. $$\begin{aligned} f(-2) &= (-2)^{2}-2\times(-2)-3=4+4-3=5 & &\text{or } y_{A}=5 & &\boxed{A\in\mathcal{C}_f} \\ f(1) &= 1-2-3=-4 & &\text{or } y_{B}=-4 & &\boxed{B\in\mathcal{C}_f} \\ f(2) &= 4-4-3=-3 & &\text{or } y_{C}=0\neq -3 & &\boxed{C\notin\mathcal{C}_f} \\ f(3) &= 9-6-3=0 & &\text{or } y_{D}=0 & &\boxed{D\in\mathcal{C}_f} \\ f(0) &= -3 & &\text{or } y_{E}=3\neq -3 & &\boxed{E\notin\mathcal{C}_f} \end{aligned}$$ Le point $E$ est un piège classique : $-3$ et $3$ ne sont pas le même nombre.

2. L'ordonnée d'un point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $-1$ est $f(-1)$ : $$y=f(-1)=(-1)^{2}-2\times(-1)-3=1+2-3=\boxed{0}$$

3. On cherche les $x$ tels que $f(x)=12$ : $$x^{2}-2x-3=12 \iff x^{2}-2x-15=0$$ On remarque que $x^{2}-2x-15=(x-5)(x+3)$, puisque $(x-5)(x+3)=x^{2}+3x-5x-15=x^{2}-2x-15$. Par produit nul : $$\boxed{x=5 \text{ ou } x=-3}$$ Il y a donc deux points de $\mathcal{C}_f$ d'ordonnée $12$ : $(5\,;12)$ et $(-3\,;12)$. Ils sortent toutefois de la fenêtre tracée à l'exercice 9.