Exercice 27 Vrai ou faux

1. Fausse. Une courbe relevée par un capteur, ou un tableau de mesures, définissent parfaitement une fonction sans qu'aucune formule ne les décrive. C'est la remarque du cours.

2. Vraie. Par exemple, avec la fonction carré, le nombre $9$ admet deux antécédents, $3$ et $-3$, puisque $3^{2}=(-3)^{2}=9$.

3. Fausse. C'est précisément ce que la définition interdit : à chaque antécédent correspond une unique image. Graphiquement, une droite verticale ne coupe la courbe qu'en un point au plus.

4. Fausse. La racine carrée n'est définie que pour les nombres positifs : $\sqrt{-4}$ n'existe pas. Son ensemble de définition est $[0\,;+\infty[$.

5. Vraie. C'est la proposition 1 du cours : $x^{2}=x\times x$ est un produit de deux nombres de même signe, donc positif.

6. Fausse. Contre-exemple avec $x=-2$ : $$(-2)^{3}=-8<0$$ Contrairement au carré, le cube conserve le signe de $x$.

7. Fausse. Contre-exemple avec $a=-3$ et $b=1$ : on a bien $-3<1$, mais $$a^{2}=9 \qquad \text{et} \qquad b^{2}=1 \qquad \text{donc} \qquad a^{2}>b^{2}$$ L'implication n'est vraie que si $a$ et $b$ sont tous deux positifs.

8. Vraie. Les réels $a$ et $b$ sont tous deux dans $]0\,;+\infty[$, où la fonction inverse est décroissante : elle inverse donc l'ordre. C'est exactement la remarque du cours.

9. Fausse. Le maximum est l'ordonnée du point le plus haut, pas son abscisse. L'abscisse indique seulement où le maximum est atteint.

10. Vraie. C'est la proposition 1 du cours. On peut le redémontrer : si $a<b\leqslant 0$, alors $a+b\leqslant 0$ et $a-b<0$, donc $(a-b)(a+b)\geqslant 0$, c'est-à-dire $a^{2}\geqslant b^{2}$ : l'ordre est bien inversé.