Exercice 29

Partie A : deux écritures utiles.

1. On développe le membre de droite : $$(x-1)^{2}-4=x^{2}-2\times x\times 1+1^{2}-4=x^{2}-2x+1-4=x^{2}-2x-3=f(x)$$

2. On développe de même : $$(x+1)(x-3)=x^{2}-3x+x-3=x^{2}-2x-3=f(x)$$

Partie B : extremum et symétrie.

3. Pour tout réel $x$, $(x-1)^{2}\geqslant 0$. En retranchant $4$ aux deux membres : $$(x-1)^{2}-4\geqslant -4 \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad \boxed{f(x)\geqslant -4}$$ De plus $f(1)=(1-1)^{2}-4=-4$, et $1$ appartient à $[-2\,;4]$ : la valeur $-4$ est bien atteinte. $$\boxed{f \text{ admet pour minimum } -4 \text{ sur } [-2\,;4], \text{ atteint pour } x=1}$$

4. Avec la seconde écriture, $f(x)=0$ équivaut à $(x+1)(x-3)=0$. Par produit nul : $$\boxed{\text{Les antécédents de } 0 \text{ sont } -1 \text{ et } 3}$$

5. $$f(0)=(0-1)^{2}-4=1-4=\boxed{-3} \qquad ; \qquad f(2)=(2-1)^{2}-4=1-4=\boxed{-3}$$ Les deux images sont égales. Ce n'est pas un hasard : dans l'écriture $f(x)=(x-1)^{2}-4$, seule compte la distance de $x$ à $1$, puisque le carré efface le signe. Or $0$ et $2$ sont tous deux à la distance $1$ de $1$. $$\boxed{\text{La courbe est symétrique par rapport à la droite verticale d'équation } x=1}$$ C'est bien ce que l'on observe sur la figure de l'exercice 9 : les couples d'antécédents trouvés, $(-1\,;3)$ et $(-2\,;4)$, sont eux aussi symétriques autour de $1$.

Partie C : variations.

6. (a) En utilisant l'écriture de la question 1 : $$\begin{aligned} f(x_{2})-f(x_{1}) &= \left[(x_{2}-1)^{2}-4\right]-\left[(x_{1}-1)^{2}-4\right] \\ &= (x_{2}-1)^{2}-(x_{1}-1)^{2} \end{aligned}$$ On reconnaît une différence de deux carrés, $A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)$, avec $A=x_{2}-1$ et $B=x_{1}-1$ : $$\begin{aligned} f(x_{2})-f(x_{1}) &= \left[(x_{2}-1)-(x_{1}-1)\right]\times\left[(x_{2}-1)+(x_{1}-1)\right] \\ &= \boxed{(x_{2}-x_{1})(x_{2}+x_{1}-2)} \end{aligned}$$

(b) Le premier facteur est positif puisque $x_{1}\leqslant x_{2}$. Pour le second, on utilise $x_{1}\geqslant 1$ et $x_{2}\geqslant 1$, d'où $x_{1}+x_{2}\geqslant 2$, c'est-à-dire $x_{2}+x_{1}-2\geqslant 0$. Le produit de deux nombres positifs est positif : $$f(x_{2})-f(x_{1})\geqslant 0 \qquad \text{donc} \qquad f(x_{1})\leqslant f(x_{2})$$

7. On complète avec les valeurs $f(-2)=5$, $f(1)=-4$ et $f(4)=5$ :

8. En repartant de l'écriture de la question 1 : $$f(x)=5 \iff (x-1)^{2}-4=5 \iff (x-1)^{2}=9$$ Le nombre $x-1$ a donc pour carré $9$ : il vaut $3$ ou $-3$. $$x-1=3 \; \Longrightarrow \; x=4 \qquad ; \qquad x-1=-3 \; \Longrightarrow \; x=-2$$

9. Tout concorde avec la lecture graphique de l'exercice 9 :

• le point le plus bas de la courbe a pour ordonnée $-4$ et pour abscisse $1$ (question 3) ;

• la courbe coupe l'axe des abscisses en $-1$ et $3$ (question 4) ;

• elle passe par les points $(0\,;-3)$ et $(2\,;-3)$, symétriques par rapport à la droite d'équation $x=1$ (question 5) ;

• elle descend puis remonte, avec $f(-2)=f(4)=5$ aux deux extrémités (questions 6 et 7) ;

• les antécédents de $5$ sont bien $-2$ et $4$ (question 8).