Exercice 21

Méthode par combinaison linéaire : on ajoute ou l'on retranche les deux équations, éventuellement multipliées, de façon à faire disparaître une inconnue.

1. $$\left\{\begin{array}{ll} 3x+2y-12=0 & \textcircled{e_{1}} \\ 3x-4y+6=0 & \textcircled{e_{2}} \end{array}\right.$$ Les coefficients de $x$ sont identiques : on effectue $\textcircled{e_{1}}- \textcircled{e_{2}}$. $$\begin{aligned} (3x+2y-12)-(3x-4y+6) &= 0-0 \\ 3x+2y-12-3x+4y-6 &= 0 \\ 6y-18 &= 0 \\ y &= 3 \end{aligned}$$ On reporte dans $\textcircled{e_{1}}$ : $3x+6-12=0$, donc $3x=6$ et $x=2$. $$\boxed{S=\{(2\,;3)\}}$$ Vérification : $6+6-12=0$ et $6-12+6=0$.

2. $$\left\{\begin{array}{ll} 2x+5y-1=0 & \textcircled{e_{1}} \\ 2x-3y-9=0 & \textcircled{e_{2}} \end{array}\right.$$ Les coefficients de $x$ sont à nouveau identiques : on effectue $\textcircled{e_{1}}- \textcircled{e_{2}}$. $$\begin{aligned} (2x+5y-1)-(2x-3y-9) &= 0 \\ 8y+8 &= 0 \\ y &= -1 \end{aligned}$$ On reporte dans $\textcircled{e_{1}}$ : $2x-5-1=0$, donc $x=3$. $$\boxed{S=\{(3\,;-1)\}}$$ Vérification : $6-5-1=0$ et $6+3-9=0$.

3. $$\left\{\begin{array}{ll} 3x+y-1=0 & \textcircled{e_{1}} \\ 3x-2y+11=0 & \textcircled{e_{2}} \end{array}\right.$$ On effectue $\textcircled{e_{1}}- \textcircled{e_{2}}$ : $$\begin{aligned} (3x+y-1)-(3x-2y+11) &= 0 \\ 3y-12 &= 0 \\ y &= 4 \end{aligned}$$ On reporte dans $\textcircled{e_{1}}$ : $3x+4-1=0$, donc $3x=-3$ et $x=-1$. $$\boxed{S=\{(-1\,;4)\}}$$ Vérification : $-3+4-1=0$ et $-3-8+11=0$.

4. $$\left\{\begin{array}{ll} 2x+3y-16=0 & \textcircled{e_{1}} \\ 3x-2y-11=0 & \textcircled{e_{2}} \end{array}\right.$$ Cette fois aucune inconnue ne disparaît directement. Pour éliminer $y$, on remarque que les coefficients $3$ et $-2$ deviennent opposés si l'on multiplie $\textcircled{e_{1}}$ par $2$ et $\textcircled{e_{2}}$ par $3$. On effectue donc $2\times \textcircled{e_{1}}+3\times \textcircled{e_{2}}$ : $$\begin{aligned} 2(2x+3y-16)+3(3x-2y-11) &= 0 \\ 4x+6y-32+9x-6y-33 &= 0 \\ 13x-65 &= 0 \\ x &= 5 \end{aligned}$$ On reporte dans $\textcircled{e_{1}}$ : $10+3y-16=0$, donc $3y=6$ et $y=2$. $$\boxed{S=\{(5\,;2)\}}$$ Vérification : $10+6-16=0$ et $15-4-11=0$.