Exercice 22

1. Prévision : $(a\,;b)=(2\,;4)$ et $(a'\,;b')=(1\,;2)$, donc $ab'-a'b=2\times 2-1\times 4=0$ : les droites sont parallèles.

En divisant la première équation par $2$, on obtient exactement la seconde : les deux droites sont confondues. $$\boxed{\text{Une infinité de solutions : tous les couples } (x\,;y) \text{ tels que } x+2y-3=0}$$ Autrement dit, $S=\left\{(3-2y\,;y) \; ; \; y\in\mathbb{R}\right\}$. $$\boxed{\text{Géométriquement : les deux droites sont confondues}}$$

2. Prévision : $1\times(-2)-2\times(-1)=0$ : les droites sont parallèles.

La première donne $x=y-1$. On l'injecte dans la seconde : $$2(y-1)-2y-5=0 \iff 2y-2-2y-5=0 \iff -7=0$$ ce qui est impossible. $$\boxed{S=\varnothing} \qquad ; \qquad \boxed{\text{Géométriquement : les droites sont strictement parallèles}}$$

3. Prévision : $3\times(-2)-1\times 1=-7\neq 0$ : les droites sont sécantes, il y a donc exactement une solution.

La seconde donne $x=2y-4$. On l'injecte dans la première : $$\begin{aligned} 3(2y-4)+y-2 &= 0 \\ 6y-12+y-2 &= 0 \\ 7y-14 &= 0 \\ y &= 2 \end{aligned}$$ puis $x=2\times 2-4=0$. $$\boxed{S=\{(0\,;2)\}} \qquad ; \qquad \boxed{\text{Géométriquement : les droites se coupent au point } (0\,;2)}$$