Exercice 23

1. $$\left\{\begin{array}{ll} 4x-3y-5=0 & \textcircled{e_{1}} \\ 2x+y-5=0 & \textcircled{e_{2}} \end{array}\right.$$ La seconde équation donne $y=5-2x$, que l'on injecte dans la première : $$\begin{aligned} 4x-3(5-2x)-5 &= 0 \\ 4x-15+6x-5 &= 0 \\ 10x-20 &= 0 \\ x &= 2 \end{aligned}$$ puis $y=5-4=1$. $$\boxed{S=\{(2\,;1)\}}$$ Vérification : $8-3-5=0$ et $4+1-5=0$.

2. $$\left\{\begin{array}{ll} 2x+3y=0 & \textcircled{e_{1}} \\ 5x+4y-7=0 & \textcircled{e_{2}} \end{array}\right.$$ Pour éliminer $x$, on effectue $5\times \textcircled{e_{1}}-2\times \textcircled{e_{2}}$ : $$\begin{aligned} 5(2x+3y)-2(5x+4y-7) &= 0 \\ 10x+15y-10x-8y+14 &= 0 \\ 7y+14 &= 0 \\ y &= -2 \end{aligned}$$ On reporte dans $\textcircled{e_{1}}$ : $2x-6=0$, donc $x=3$. $$\boxed{S=\{(3\,;-2)\}}$$ Vérification : $6-6=0$ et $15-8-7=0$.

3. $$\left\{\begin{array}{ll} 3x+2y-5=0 & \textcircled{e_{1}} \\ 4x-5y+24=0 & \textcircled{e_{2}} \end{array}\right.$$ Pour éliminer $x$, on effectue $4\times \textcircled{e_{1}}-3\times \textcircled{e_{2}}$ : $$\begin{aligned} 4(3x+2y-5)-3(4x-5y+24) &= 0 \\ 12x+8y-20-12x+15y-72 &= 0 \\ 23y-92 &= 0 \\ y &= 4 \end{aligned}$$ On reporte dans $\textcircled{e_{1}}$ : $3x+8-5=0$, donc $3x=-3$ et $x=-1$. $$\boxed{S=\{(-1\,;4)\}}$$ Vérification : $-3+8-5=0$ et $-4-20+24=0$.

4. $$\left\{\begin{array}{ll} 2x+3y-4=0 & \textcircled{e_{1}} \\ 5x-y-3=0 & \textcircled{e_{2}} \end{array}\right.$$ Pour éliminer $y$, on effectue $\textcircled{e_{1}}+3\times \textcircled{e_{2}}$ : $$\begin{aligned} (2x+3y-4)+3(5x-y-3) &= 0 \\ 2x+3y-4+15x-3y-9 &= 0 \\ 17x-13 &= 0 \\ x &= \frac{13}{17} \end{aligned}$$ On reporte dans $\textcircled{e_{2}}$ : $$y=5x-3=\frac{65}{17}-\frac{51}{17}=\frac{14}{17}$$

$$\boxed{S=\left\{\left(\frac{13}{17}\,;\frac{14}{17}\right)\right\}}$$ Vérification dans $\textcircled{e_{1}}$ : $\dfrac{26}{17}+\dfrac{42}{17}-\dfrac{68}{17}=\dfrac{0}{17}=0$.

5. $$\left\{\begin{array}{ll} 3x-5y+2=0 & \textcircled{e_{1}} \\ 4x+7y-6=0 & \textcircled{e_{2}} \end{array}\right.$$ Pour éliminer $x$, on effectue $4\times \textcircled{e_{1}}-3\times \textcircled{e_{2}}$ : $$\begin{aligned} 4(3x-5y+2)-3(4x+7y-6) &= 0 \\ 12x-20y+8-12x-21y+18 &= 0 \\ -41y+26 &= 0 \\ y &= \frac{26}{41} \end{aligned}$$ On reporte dans $\textcircled{e_{1}}$ : $$3x=5y-2=\frac{130}{41}-\frac{82}{41}=\frac{48}{41} \qquad \text{d'où} \qquad x=\frac{16}{41}$$

$$\boxed{S=\left\{\left(\frac{16}{41}\,;\frac{26}{41}\right)\right\}}$$ Vérification dans $\textcircled{e_{2}}$ : $\dfrac{64}{41}+\dfrac{182}{41}-\dfrac{246}{41}=0$.

6. $$\left\{\begin{array}{ll} 6x+4y-5=0 & \textcircled{e_{1}} \\ 2x-3y+1=0 & \textcircled{e_{2}} \end{array}\right.$$ Pour éliminer $x$, on effectue $\textcircled{e_{1}}-3\times \textcircled{e_{2}}$ : $$\begin{aligned} (6x+4y-5)-3(2x-3y+1) &= 0 \\ 6x+4y-5-6x+9y-3 &= 0 \\ 13y-8 &= 0 \\ y &= \frac{8}{13} \end{aligned}$$ On reporte dans $\textcircled{e_{2}}$ : $$2x=3y-1=\frac{24}{13}-\frac{13}{13}=\frac{11}{13} \qquad \text{d'où} \qquad x=\frac{11}{26}$$

$$\boxed{S=\left\{\left(\frac{11}{26}\,;\frac{8}{13}\right)\right\}}$$ On prendra garde ici à simplifier : le calcul brut donne $y=\dfrac{16}{26}$, qu'il faut réduire en $\dfrac{8}{13}$.

Vérification dans $\textcircled{e_{1}}$ : $6\times\dfrac{11}{26}+4\times\dfrac{8}{13}-5=\dfrac{66}{26}+\dfrac{64}{26} -\dfrac{130}{26}=0$.

Les trois derniers systèmes n'ont pas de solution entière. On remarquera que la substitution y serait beaucoup plus lourde : elle introduirait des fractions dès la première étape, alors que la combinaison linéaire ne les fait apparaître qu'à la toute fin.